1、2.3二次函数与幂函数探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二次函数与幂函 数1.理解二次函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2.理解二次函数的单调性,能判断二次函数在某个区间上是否存在零点.3.理解二次函数的最大(小)值及其几何意义,并能求二次函数的最大(小)值.4.了解幂函数的概念.5.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况.2017浙江,5,4分二次函数在闭区间上的最值二次函数的图象2015浙江,18,15分二次函数在闭区间上的最值不等式的性质,函数的单调性2015浙江文,20,15分二次函数在闭区间上
2、的最值,二次函数的零点不等式的性质分析解读1.幂函数主要考查其图象和性质,一般以小题形式出现,难度不大.2.二次函数主要考查其图象和性质以及应用,特别是以二次函数为载体,考查数学相关知识,如求最值、函数零点问题,考查数形结合思想(例:2019浙江16题,2015浙江文20题).3.预计2021年高考试题中,二次函数仍是考查的重点之一.考查仍会集中在二次函数的图象和主要性质,以及求二次函数的最值、二次函数零点分布问题上,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点二次函数与幂函数1.(2019浙江金华十校期末,8)若关于x的不等式x3-3x2-ax+a+20在x(-,1上恒成立,则实数a的取
3、值范围是( ) A.(-,-3B.-3,+)C.(-,3D.3,+)答案A2.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,8)若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1,x2,且3x1x2a2a30且xi0(i=1,2,3)时,必有() A.x1x2x2x3C.x1=x2=x3D.x1,x2,x3的大小不确定答案A4.若f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b=.答案-325.(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.答案-1炼技法 提能力【方法集训】方法1
4、解决一元二次方程根的分布问题的方法1.(2019浙江高考信息优化卷(一),8)已知函数f(x)=x2+ax+b在(0,2)上有两个不同的零点,则3a+b的取值范围为() A.(-4,4)B.(-8,0)C.(-12,0)D.(-4,0)答案B2.(2019浙江台州期末,16)若函数f(x)=x2+13+ax+b在-1,1上有2个零点,则a2-3b的最小值为.答案-13方法2二次函数的区间最值问题的解法1.(2018浙江绍兴期末,17)已知f(x)=x2-ax,|f(f(x)|2在1,2上恒成立,则实数a的最大值为.答案3+1742.(2019浙江学军中学期中,21)已知函数f(x)=x2-3|
5、x-a|.(1)若函数y=f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)若a=13,求函数y=f(x)的单调递减区间;(3)当0a1时,若对任意的xa,+),不等式f(x-1)2f(x)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)若函数y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2-3|-x-a|=x2-3|x-a|,|x+a|=|x-a|,2ax=-2ax,a=0.(2)当a=13时,f(x)=x2-3x-13=x2-3x+1x13,x2+3x-1x13,由函数的图象可知(图略),y=f(x)的单调递减区间为-,-32,13,32.(3)不等式f(x-1)2f(x)可化为(x-1)2-3|x-
6、1-a|2x2-6|x-a|,即6|x-a|-3|x-(1+a)|x2+2x-1(*)对任意的xa,+)恒成立,分以下情况讨论:当axa+1时,不等式(*)可化为6(x-a)+3x-(1+a)x2+2x-1恒成立,即x2-7x+2+9a0在xa,a+1上恒成立.令h(x)=x2-7x+2+9a,0a1,h(x)=x2-7x+2+9a在a,a+1上单调递减,只需h(x)min=h(1+a)=a2+4a-40,a-2-22(舍去)或a22-2,22-2a+1时,不等式(*)可化为6(x-a)-3x-(1+a)x2+2x-1恒成立,即x2-x+3a-40在x(a+1,+)上恒成立.令(x)=x2-x
7、+3a-4,0(a+1)=a2+4a-40.a-2-22(舍去)或a22-2,22-2q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解析(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=
8、f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a2+2.(ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a4,2,a4.3.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)当b=a24+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点
9、,0b-2a1,求b的取值范围.解析(1)当b=a24+1时, f(x)=x+a22+1,故其图象的对称轴为直线x=-a2.当a-2时,g(a)=f(1)=a24+a+2.当-22时,g(a)=f(-1)=a24-a+2.综上,g(a)=a24+a+2,a-2,1,-22.(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则s+t=-a,st=b,由于0b-2a1,因此-2tt+2s1-2tt+2(-1t1).当0t1时,-2t2t+2stt-2t2t+2,由于-23-2t2t+20和-13t-2t2t+29-45,所以-23b9-45.当-1t0时,t-2t2t+2st-2t2t+2,由于-
10、2-2t2t+20和-3t-2t2t+20,所以-3b0.故b的取值范围是-3,9-45.4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证明:当|a|2时,M(a,b)2;(2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=x+a22+b-a24,得图象的对称轴为直线x=-a2.由|a|2,得-a21,故f(x)在-1,1上单调,所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|.当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4,得maxf(1),-f(-1)2,即M(
11、a,b)2.当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4,得maxf(-1),-f(1)2,即M(a,b)2.综上,当|a|2时,M(a,b)2.(2)由M(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2,故|a+b|3,|a-b|3,由|a|+|b|=|a+b|,ab0,|a-b|,ab0),g(x)=logax的图象可能是()答案D2.(2014上海,9,4分)若f(x)=x23-x-12,则满足f(x)0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,1a+2b+4c的最小值为.答案-14.(2017北京文,11,5分)已知x0,y
12、0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案12,1【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共20分) 1.(2020届浙江省重点高中统练,3)“a1”是“函数f(x)=x2-4ax+1在区间4,+)上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(2020届浙江名校协作体开学联考,3)若函数f(x)=2x2-2ax-b的图象总在x轴上方,则()A.a+b2B.a-b14D.a+2b14答案D3.(2018浙江台州期末质检,10)当x1,4时,不等式0ax3+bx2+4a4x2恒成立,则a+b的取值范围是() A.-4,8B.-2,8C.0,
13、6D.4,12答案A4.(2019浙江杭州期末,9)设a0,不等式(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为()A.1B.12C.13D.14答案C5.(2020届浙江Z20联盟开学联考,9)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)有两个零点,则“-2a+b0”是“函数f(x)至少有一个零点属于区间0,2”的一个()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A二、填空题(每空4分,共16分)6.(2019浙江高考模拟卷(一),17)设f(x)=x2-3x-m(mR),A=x|f(x)=x,B=x|f(f(x)=x,若A=B,则
14、实数m的取值范围为.答案-4m-37.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1,x2和x3,x4,若x1x3x2x4,则a的取值范围是.答案-1a0,函数f(x)=x3+ax2+bx+1在(-,0)内有且仅有一个零点,则实数b的取值范围是.答案(-,3三、解答题(共30分)10.(2020届浙江杭州二中月考,21)已知函数f(x)=log2xlog212x-2,g(x)=x2-ax+1(aR).(1)当a=-2时,若存在实数t,使x1,m时,g(x+t)x恒成立,求实数m的最大值;(2)若对任意x14,8,总存在唯一x
15、0-1,2,使得f(x1)=g(x0)成立,求实数a的取值范围.解析本题考查二次函数和对数函数的性质;考查学生数学运算的能力;考查数学运算的核心素养.(1)g(x)=(x+1)2,存在实数t,使x1,m时,g(x+t)x恒成立,即(x+t+1)2x恒成立,所以存在tR,-xx+t+1x,即-x-xt+1x-x(x1,m)恒成立.设x=u,则-u-u2t+1u-u2,(-u-u2)maxt+1(u-u2)min,即存在tR,t+1-2,且t+1m-m,解得m4,实数m的最大值是4.(2)f(x)=log2x-122-94,x4,8,2log2x3,函数f(x)在x4,8上的值域为0,4.由题意知
16、0,4y|y=x2-ax+1(-1x2),且对任意y0,4,总存在唯一x0-1,2,使得y=g(x0).以下分三种情况讨论:当a2-1时,则g(-1)=a+20,g(2)=5-2a4,解得a-2;当a22时,则g(-1)=a+24,g(2)=5-2a0,解得a4;当-1a20,g(-1)=a+24,g(2)=5-2a0,g(-1)=a+20,g(2)=5-2a4,解得52a4.综上,实数a的取值范围是(-,-252,+.11.(2020届浙江省重点高中统练,22)已知函数f(x)=ax2+bx+c.(1)当a=1,b=2时,若存在x1,x2-2,0(x1x2),使得|f(xi)|=2(i=1,
17、2),求实数c的取值范围;(2)若a,b,c为正整数,方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1,x2满足-1x1x21,求a+b+c的最小值.解析本题考查二次函数与一元二次方程的关系以及不等式的综合应用;考查学生数学运算的能力和逻辑推理的能力;考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.(1)当a=1,b=2时, f(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1,由已知可得方程x2+2x+c=2在-2,0上有两个不等实数根或者x2+2x+c=-2在-2,0上有两个不等实数根,所以f(-1)2,f(0)2或f(-1)0,f(1)0,-1-b2a0,即a-b+c0,a+b+c0,2ab,b2-4ac0,因为a,b,c是正整数,所以a-b+c1,2ab+1,b2-4ac1,所以a+b+c=a-b+c+2b1+2b,因为b24ac+15,所以b3,当b=3时,a+c4,且acb2-14=2,无解;当b=4时,a+c5,且acb2-14=154,所以ac3,无解;当b=5时,a+c6,且acb2-14=6,2ab=5,则a3,此时a=5,c=1符合要求,所以a+b+c1+2b11,当a=5,b=5,c=1时等号成立,所以a+b+c的最小值为11.
