1、习题课一求数列的通项题型一利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】(1)数列an满足a11，对任意的nN*都有an1a1ann，求数列an的通项公式；(2)已知数列an满足a1，an1an，求an.解(1)an1ann1，an1ann1，即a2a12，a3a23，anan1n(n2).等式两边同时相加得ana1234n(n2)，即ana1234n1234n，n2.又a11也适合上式，an，nN*.(2)由条件知，分别令n1，2，3，n1，代入上式得(n1)个等式，累乘，即(n2).，又a1，an，n2.又a1也适合上式，an，nN*.规律方法(1)求形如an1anf(n)的通项公式.将原来的递
2、推公式转化为an1anf(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(3)f(n1).(2)求形如an1f(n)an的通项公式.将原递推公式转化为f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由f(1)，f(2)，f(n1)，累乘可得f(1)f(2)f(n1).【训练1】数列an中，a12，an1an2n，求an的通项公式.解因为a12，an1an2n，所以a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1，n2，以上各式累加得，ana1222232n1，故an22n，当n1时，a1也符合上式，所以an2n.题型二构造等差(比
3、)数列求通项公式【例2】(1)在数列an中，a1，6anan1anan10(n2，nN*).证明：数列是等差数列；求数列an的通项公式.(2)已知数列an中，a12，an12an3，求an.(1)证明由6anan1anan10，整理得6(n2)，故数列是以3为首项，6为公差的等差数列.解由可得3(n1)66n3，所以an，nN*.(2)解由an12an3得an132(an3)，所以数列an3是首项为a131，公比为2的等比数列，则an3(1)2n1，即an2n13.规律方法(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项
4、公式，故同学们不必在此处挖掘过深.(2)形如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设递推公式可改写为an1tp(ant)；第二步由待定系数法，解得t；第三步写出数列的通项公式；第四步写出数列an的通项公式.【训练2】已知各项均为正数的数列bn的首项为1，且前n项和Sn满足SnSn1(n2).试求数列bn的通项公式.解 SnSn1(n2)，()()(n2).又0，1.又1，数列是首项为1，公差为1 的等差数列，1(n1)1n，故Snn2.当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1.当n1时，b11符合上式.bn2n1.题型三利用前n项
5、和Sn与an的关系求通项公式【例3】(1)已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN*，则an等于()A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2(2)已知数列an中，前n项和为Sn，且Snan，则的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1解析(1)因为Sn2an4，所以n2时，Sn12an14，两式相减可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1，所以2.因为S1a12a14，即a14，所以数列an是首项为4，公比为2的等比数列，则an42n12n1，故选A.(2)由Snan得，当n2时，Sn1an1，两式作差可得：anSnSn1anan1，整理得1，由此
6、可得，当n2时，取得最大值，其最大值为3.答案(1)A(2)C规律方法已知Snf(an)或Snf(n)的解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式；第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入n2时的an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练3】在数列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN*)，求数列an的通项公式an.解由a12a23a3nanan1，得当n2时，a12a23a3
7、(n1)an1an，两式作差得nanan1an，得(n1)an13nan(n2)，即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21，于是2a22，故当n2时，nan23n2.于是an一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，的递推公式可能是()A.anB.anC.anD.an解析由题意可得，a11，a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n(n2)，故数列的递推
8、公式为an故选B.答案B2.数列an中，a11，且an1an2n，则a9()A.1 024 B.1 023 C.510 D.511解析由题意可得an1an2n，则a9a1(a2a1)(a3a2)(a9a8)1212228291511.故选D.答案D3.已知数列an的各项均为正数，且aann2n0，则an_.解析由aann(n1)0，得an(n1)(ann)0.又an0，所以ann1.答案n14.已知数列an中，a11，对于任意的n2，nN*，都有a1a2a3ann2，则a10_.解析由a1a2a3ann2，得a1a2a3an1(n1)2(n2)，所以an(n2)，所以a10.答案5.已知数列a
9、n满足a11，an1(nN*)，求数列an的通项公式.解由an1，得1，所以12.又a11，所以12，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以122n12n，所以an.基础达标一、选择题1.已知数列an中，a12，an1an2n(nN*)，则a100的值是()A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000解析a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)2229 902.答案B2.已知数列an中，a11，an1，则这个数列的第n项为()A.2n1 B.2n1 C. D.解析an1，a11，2.为等差数列，公差为2，首项1.1(n1)22n1
10、，an.答案C3.若数列an中，a13，anan14(n2)，则a2 021的值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析a13，anan14(n2)，an1an4，an1an1，anan2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又a13，a2 0213.答案C4.已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的通项公式an等于()A.2n B.n(n1) C. D.解析an1an，2n1an12nan2，即2n1an12nan2.又21a12，数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，an.答案C5.已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Sn14an2，
11、则a12()A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150解析由题意得S24a12，所以a1a24a12，解得a28，故a22a14，又an2Sn2Sn14an14an，于是an22an12(an12an)，因此数列an12an是以a22a14为首项，2为公比的等比数列，即an12an42n12n1，于是1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得1(n1)n，即ann2n.所以a121221249 152，故选B.答案B二、填空题6.在等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二
12、列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列an的通项公式为_.解析当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意.因此a12，a26，a318，所以公比q3，故an23n1.答案an23n17.在数列an中，a11，an1an，则数列an的通项公式an_.解析当n2时，ana1n，当n1时，a11也符合此式，ann.答案n8.已知数列an满足(nN*)，则a10_.解析(nN*)，(n2)，ln an(n2)，ane(n2)，a10e.答案e三、解答题9.设f(x)log2xlogx4(0x1)，数列an的通项an满足f(2an)2
13、n，求数列an的通项公式.解f(x)log2xlogx4(0x1)，f(2an)2n，log22anlog2an42n，由换底公式得log22an2n，即an2n，a2nan20，解得ann.又0x1，02an1，an1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，则()A.a917 B.a1018C.S981 D.S1091解析对于任意n1，nN*，满足Sn1Sn12(Sn1)，Sn1SnSnSn12，an1an2.数列an在n2时是等差数列，公差为2.又a11，a22，则a927216，a1028218，S9182273，S10192291.故选BD.答案BD14.(多空题)设Sn是数列an的前n项和，且满足a12anSn，且an0，则Sn_，a100_.解析由Sn是数列an的前n项和，且满足a12anSn，则当n1时，a12a1S1，即S1；当n2时，(SnSn1)212(SnSn1)Sn，整理得SS1.所以数列S是以1为首项，1为公差的等差数列，则Sn.由于an0，所以Sn，故a100S100S99103.答案103