1、二 圆锥曲线的参数方程一、基础达标1.参数方程(为参数)化为普通方程为()A.x21 B.x21C.y21 D.y21解析易知cos x，sin ，x21，故选A.答案A2.方程(为参数，ab0)表示的曲线是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一部分解析由xcos a，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一部分.答案D3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案C4.当取一切实数时，
2、连接A(4sin ，6cos )和B(4cos ，6sin )两点的线段的中点的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段解析设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x2sin 2cos ，y3cos 3sin ，即sin cos ，sin cos ，两式平方相加，得2，是椭圆.答案B5.实数x，y满足3x24y212，则2xy的最大值是_.解析因为实数x，y满足3x24y212，所以设x2cos ，ysin ，则2xy4cos 3sin 5sin()，其中sin ，cos .当sin()1时，2xy有最大值为5.答案56.抛物线yx2的顶点轨迹的普通方程为_.解析抛物线方程可化为y，其顶点
3、为，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则消去t得yx2(x0).答案yx2(x0)7.如图所示，连接原点O和抛物线yx2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x22y，其参数方程为得M(2t，2t2).设P(x，y)，则M是OP中点.(t为参数)，消去t得yx2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线(为参数)与直线xm相交于不同两点，则m的取值范围是()A.R B.(0，)C.(0，1) D.0，1)解析将曲线化为普通方程得(y1)2(x1)(0x1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0m1
4、.答案D9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_.解析将参数方程化为普通方程为y24x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p4p2，则焦点坐标为(1，0).答案(1，0)10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.解析化为普通方程为yx2，由于cos x，sin y，所以化为极坐标方程为sin 2cos2，即cos2sin 0.答案cos2sin 011.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点
5、，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得点(0，4).因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离为dcos2，由此得，当cos1时，d取得最小值，且最小值为.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.解设椭圆的参数方程是，其中，ab0，02.由e21可得即a2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2x2a2cos2a2(a2b2)sin23bsin 4b23b2sin23bsin 3b24b23，如果1即b，即当sin 1时，d2有最大值，由题设得()2，由此得b，与b矛盾.因此必有1成立，于是当sin 时，d2有最大值，由题设得()24b23，由此可得b1，a2.所求椭圆的参数方程是由sin ，cos 可得，椭圆上的点，点到点P的距离都是.