1、吉林省油田高级中学2021届高三数学下学期3月月考（第四周）试题注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，则的模为（ ）A1BC2D【答案
2、】D【解析】因为，所以的模为，故选D2设集合，集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】函数的定义域是，即，的值域是，即，则，故选B3“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由对数函数的性质可得“”的充要条件是“”，当时，则是成立的，例如：，此时也成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A4数列是等差数列，且，那么（ ）ABC5D【答案】B【解析】令，得；令，得，所以数列的公差为，所以，解得，故选B5若，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，两边平方得，所以，故选C6设，且，则（ ）A
3、有最小值为4B有最小值为C有最小值为D无最小值【答案】B【解析】，且，解得，当且仅当，时取等号有最小值，故选B7已知O是的外心，若，且，则的面积为（ ）AB18C24D【答案】D【解析】取的中点为，连接，因为O是的外心，所以，由于，则，因为，所以，即，得，即，则，故选D 8设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】设，则，是偶函数当时，在上是增函数，即，即，故选A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知函数则下面结论正确的是（ ）
4、A是奇函数B在上为增函数C若，则D若，则【答案】BCD【解析】函数的定义域为，由，得是偶函数，故A不正确；当时，所以在上为增函数，故B正确；因为是偶函数，所以，又，所以，故C正确；由可得，且在上为增函数，所以，解得，故D正确，故选BCD10已知函数部分自变量函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ） A函数解析式为B函数图象的一条对称轴为C是函数图象的一个对称中心D函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数【答案】BCD【解析】由表格的第1、2列可得：，由表格的第4、5列可得：，故A错误；令，是函数图象的一条对称轴，即为的一条对称轴，故B正确；，是函数图象的一个对称中心， 是
5、函数图象的一个对称中心，故C正确；函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得的函数为，为奇函数，故D正确，故选BCD11如图，在矩形中，为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A存在某个位置，使得BCN的长是定值C若AB=BM，则D若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是【答案】BD【解析】对于A：如图1，取中点，连接交与，则，如果，可得到，又，且三线，共面共点，不可能，则A错误；对于B：如图1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，所以是定值，则B正确；对于C：如图2，取中点，连接，由题意得面，即可
6、得，从而，由题意不成立，可得C错误；对于D：当平面平面时，三棱锥的体积最大，由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，则D正确，故选BD12下列不等式中正确的是（ ）ABCD【答案】AC【解析】构造函数，则，当时，则单调递增；当时，则单调递减，所以当时，取得最大值A选项，由可得，故A正确；B选项，由，可得，故B错误；由可推导出，即，即，则，即，所以，故C正确；D选项，因为，所以，所以，故D错误，故选AC 第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量，若与共线，则实数的值为_【答案】2【解析】根据题意，向量，若与共线，则有，解得，故答案为214已知等比数列满足，则_【
7、答案】【解析】由等比数列的性质可得，于是，解得又，所以15已知二面角的大小为120，且，若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为_【答案】【解析】设，则，设和的外心分别为、，则分别为的中点，过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心，连接，则为三棱锥外接球的半径取的中点，连接、，如图所示， 由题意可知，且，为二面角的平面角，即，连接，平面，平面，四点共圆，且该圆的直径为在中，由余弦定理知，的外接圆直径，当时，取得最小值，为，此时该球的表面积取得最小值，为，故答案为16已知对任意x，都有，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】根据题意可知，由，可得恒成立，
8、令，则，现证明恒成立，设，当时，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，故时，函数取得最小值，所以，即恒成立，所以，即，所以实数的取值范围是，故答案为 四、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答在中，角的对边分别为， 求的面积【答案】见解析【解析】若选：由正弦定理得，即，所以，因为，所以又，所以，所以若选：由正弦定理得因为，所以，化简得，即，因为，所以又因为，所以，即，所以若选：由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以又，所以，所以18（12分）已知（1）若的解集为，求关于x
9、的不等式的解集；（2）解关于x的不等式【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意得，解得故原不等式等价于，即，解得或，所以不等式的解集为（2）当时，原不等式可化为，解集为；当时，原不等式可化为，解集为；当时，原不等式可化为，当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为19（12分）记等差数列的前n项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式，将数列中与的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列，设数列的前n项和为，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，解得，又，故，所以（2）令数列的前n项和为，数列的前n项和为，由（1）可知，所以，故20（12分）如图，三棱柱中
10、，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，且，E，F分别是，的中点 （1）若D是的中点，求证：平面AEF；（2）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线与平面AEF所成的角为？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点M与点A重合【解析】（1）连接， 因为D，E分别是，的中点，故，平面，平面，所以平面因为E，F分别是，的中点，所以，证平面，平面，所以平面，又，平面，平面AEF，所以平面平面，又平面，所以平面AEF，（2）题意得AB，AC，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为，设平面AEF的法向量为，由，得，令，得，所以平面AEF的一个法向量为设，又
11、，所以若直线与平面AEF所成角为，则，解得或，即当点M与点A重合，或时，直线与平面AEF所成的角为21（12分）已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数是偶函数可知：，即对一切恒成立，（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根化简得：方程有且只有一个实根令，则方程有且只有一个正根，当时，不合题意；当且，解得或若，不合题意；若，满足当且时，即或且，故，综上，实数a的取值范围是22（12分）已知函数，（1）求的最小值；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），令，得，故在区间上，的唯一零点是，当时，单调递减；当时，单调递增，故在区间上，的极小值为，当时，所以，的最小值为（2）要证：时，即证时，令，则，即是上的增函数，即，即是上的增函数，故当时，
