1、广东省湛江市遂溪县2015届高三上学期第一次统考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）等差数列an中，已知a5+a7=10，Sn是数列an的前n项和，则S11=（）A45B50C55D603（5分）设函数f（x）=cosx，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为y=f（x）的图象，则m可以为（）ABCD4（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率
2、分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A6万元B8万元C10万元D12万元5（5分）如图，在ABC中，AB=AC=BC=2，则=（）A1B1C2D26（5分）已知函数y=f（x）是偶函数，当x0时，且当x3，1时，f（x）的值域是n，m，则mn的值是（）ABC1D7（5分）已知直线l平面，直线m平面，有下列四个命题lm lm lm lm其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与8（5分）如图圆C内切于扇形AOB，AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）ABCD9（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P
3、为双曲线上的一点，若F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A2B3C4D510（5分）如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）ABx2CD二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分其中14.15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分11（5分）已知命题 p 为真命题，q：y=（xa）2在1，+）为增函数，又pq为假命题，则a的取值范围是12（5分）已知函数，对于数列an有an=f（an1）（nN*，且n2），如果a1=1，那么a2=，an=13（5分）设函数f（x）=|x+a|2，若不
4、等式|f（x）|1的解集为（2，0）（2，4），则实数a的值是五、14（5分）已知点A（3，），B（3，），O为极点，则ABO的面积是五、15如图，O1与O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E；且AD=19，BE=16，BC=4，则AE=三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤16（12分）已知向量，且（1）求tanA的值；（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（xR）的值域17（13分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1，AA1=AB=2a，D、E分别为CC1、A1B的中点（1）求证：DE平面ABC；（）求证：A
5、EBD；（）求三棱锥DA1BA的体积18（13分）某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A（m2）的宿舍楼已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2. 5倍经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m2，以后每增2014-2015学年高一层，其建筑费用就增加30元/m2试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）19（14分）已知数列an的前n项和Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）都在函数f（x）=2x+24的图象上（I）求数列an的通项公式；（）设bn=anlog2
6、an，求数列bn的前n项和Tn20（14分）如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点（1）求椭圆C的方程；（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程21（14分）已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx（1）如果函数y=f（x）在1，+）上是单调减函数，求a的取值范围；（2）是否存在实数a0，使得方程=f（x）（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由广东省湛江市遂溪县2015届高三上学期第一次统考数学试卷（文科）参考答案与试题解析
7、一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：化简复数，求出共轭复数，可得对应的点的坐标，即可得出结论解答：解：复数=1i，共轭复数=1+i，对应的点（1，1）位于第二象限故选B点评：本题考查复数的几何意义，考查复数的运算，正确化简复数是关键2（5分）等差数列an中，已知a5+a7=10，Sn是数列an的前n项和，则S11=（）A45B50C55D60考点：等差数列的性
8、质 专题：计算题分析：本题考查的知识点是等差数列的性质，由等差数列中：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；及a5+a7=10，我们及得到a1+a11的值，进而根据等差数列前n项和公式得到S11的值解答：解：S11=11=11=11=55，故答案选C点评：在等差数列中：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；在等比数列中：若m+n=p+q，则aman=apaq；这是等差数列和等比数列最重要的性质之一，大家一定要熟练掌握3（5分）设函数f（x）=cosx，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为y=f（x）的图象，则m可以为（）ABCD考点：余弦函数的图象 专题：计算题分析：函数
9、f（x）=cosx，把f（x）的图象向右平移m个单位后得到f（xm）=cos（xm），而y=f（x）=sinx，利用cos（xm）=sinx，可得答案解答：解：f（x）=cosx，f（x）=cosxf（xm）=cos（xm），又f（x）=sinx=cos（x+）=cos（x），cos（xm）=cos（x+）=cos（x），可排除A、B、C故选D点评：本题考查余弦函数的图象，着重考查诱导公式及图象的平移变换，得到cos（xm）=sinx是关键，属于中档题4（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万
10、元，则11时到12时的销售额为（）A6万元B8万元C10万元D12万元考点：用样本的频率分布估计总体分布 专题：计算题；图表型分析：设11时到12时的销售额为x万元，因为组距相等，所以对应的销售额之比等于之比，也可以说是频率之比，解等式即可求得11时到12时的销售额解答：解：设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，故选 C点评：本题考查频率分布直方图的应用问题在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积代表各组的频率5（5分）如图，在ABC中，AB=AC=BC=2，则=（）A1B1C2D2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量的数量积运算即可得出解答：解：=2故选：D点评
11、：本题考查了向量的数量积运算，注意向量的夹角，属于基础题6（5分）已知函数y=f（x）是偶函数，当x0时，且当x3，1时，f（x）的值域是n，m，则mn的值是（）ABC1D考点：函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法；函数的值域 专题：计算题分析：可根据偶函数的性质求得x0时f（x）的解析式，再结合其图象分析函数的单调性，从而确定答案解答：解：当x0时，x0时，x0，函数y=f（x）是偶函数，f（x）=f（x），x0时，由其图象可知，在3，2单调递减，在2，1单调递增，f（x）min=f（2）=4=n，又f（3）=，f（1）=5f（3），f（x）max=f（1）=5=m，mn=1故选C点评：本
12、题考查函数奇偶性的性质，难点在于对x0时，对单调性的分析，属于中档题7（5分）已知直线l平面，直线m平面，有下列四个命题lm lm lm lm其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与考点：命题的真假判断与应用 专题：常规题型；空间位置关系与距离分析：空间中线面位置关系的推理证明解答：因为且l平面，所以l平面，又因为直线m平面，所以 lm； lm 错误； 因为lm，直线l平面，所以直线m平面，又因为直线m平面，所以； lm错误故选D点评：空间中线面位置关系的推理证明，属于基础题8（5分）如图圆C内切于扇形AOB，AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）ABCD考点：几何概型
13、；扇形面积公式 专题：计算题分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与P的面积比解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为C的面积=r2，连接OC，延长交扇形于P由于CE=r，BOP=，OC=2r，OP=3r，则S扇形AOB=；C的面积与扇形OAB的面积比是概率P=，故选C点评：本题是一个等可能事件的概率，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的
14、事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果连接圆心和切点是常用的辅助线做法，本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系9（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A2B3C4D5考点：等差数列的性质；双曲线的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率e，或是关于实半轴长2a与焦距2C的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列
15、，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设P在第一象限，则由已知得5a26ac+c2=0，方程两边同除a2得：即e26e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），故选D点评：解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知|PF1|设为m，|PF2|设为n，这时要求离心率e，我们要找出a，c之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即P点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值10（5分）如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大
16、致图象，则x12+x22等于（）ABx2CD考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数在某点取得极值的条件 专题：计算题分析：由图象知f（1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f （x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=，x1x2=，则由x12+x22 =（x1+x2）22x1x2 代入可求得结果解答：解：f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，1+bc+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，d=0，b=1，c=2 f （x）=3x2+2bx+c=3x22x2 由题意有 x1 和 x2 是函数f（x）的极值，故有 x1 和 x2 是
17、 f （x）=0的根，x1+x2=，x1x2=则x12+x22 =（x1+x2）22x1x2=+=，故选C点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分其中14.15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分11（5分）已知命题 p 为真命题，q：y=（xa）2在1，+）为增函数，又pq为假命题，则a的取值范围是（，1考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：由p是假命题，q是假命题，得出q是真命题，从而得出结论解答：解：pq为假命题，p是假命题，q是假命题，q是真命题，y=（xa
18、）2在1，+）为增函数，对称轴x=a1，故答案为：（，1点评：本题考查了复合命题的真假，二次函数的性质，对称性，是一道基础题，12（5分）已知函数，对于数列an有an=f（an1）（nN*，且n2），如果a1=1，那么a2=，an=（nN*）考点：数列的函数特性；数列的概念及简单表示法 专题：计算题分析：由函数及数列an有an=f（an1）（nN*，且n2），我们不难由此得到数列的递推公式，再由a1=1，代入即可求出a2的值，并由递推公式不难得到数列的通项公式解答：解：函数且数列an有an=f（an1）（nN*，且n2），an=由a1=1，则a2=由n=得3anan1=an1an即故数列是以一
19、个以1为首项，以3为公差的等差数列则=3n2则an=（nN*）故答案为：，（nN*）点评：如果一个数列的递推公式满足kanan1=an1an，则表示数列是以一个以为首项，以k为公差的等差数列13（5分）设函数f（x）=|x+a|2，若不等式|f（x）|1的解集为（2，0）（2，4），则实数a的值是1考点：其他不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：利用绝对值不等式的意义解出用参数a表示的解集，利用同一性得出参数a的方程，解出a的值解答：解：f（x）=|x+a|2，且|f（x）|1，即有1|x+a|21，1|x+a|3，1x+a3或3x+a11ax3a或a3xa1，不等式的解集是（2
20、，0）（2，4），1a=2，3a=4，a3=2，a1=0应同时成立，解得a=1；故答案为：1点评：考查绝对值不等式的解法，以及解的同一性同一性在平时学习时不常用，故此处用同一性得到方程，对一般的学生是个易错点五、14（5分）已知点A（3，），B（3，），O为极点，则ABO的面积是考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由点A（3，），B（3，），可得AOB=，利用ABO的面积S=即可得出解答：解：点A（3，），B（3，），AOB=，ABO的面积S=故答案为：点评：本题考查了极坐标的意义、三角形的面积计算公式，属于基础题五、15如图，O1与O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及
21、MN依次交于A、B、C、D、E；且AD=19，BE=16，BC=4，则AE=28考点：圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用 专题：计算题；压轴题分析：利用相交弦定理推出ABCD=BCDE设CD=x，表示出AB、DE然后解出x，再求出AE解答：解：因为A，M，D，N四点共圆，所以ACCD=MCCN同理，有BCCE=MCCN所以ACCD=BCCE，即（AB+BC）CD=BC（CD+CE），所以ABCD=BCDE设CD=x，则AB=ADBCCD=194x=15x，DE=BEBCCD=164x=12x，则（15x）x=4（12x），即x219x+48=0，解得x=3或x=16（舍）AE=AB+D
22、EBD=19+167=28故答案为：28点评：本题主要考查两圆的位置关系，以及相交弦定理的有关知识，分析问题和解决问题的能力，以及转化与化归的思想方法三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤16（12分）已知向量，且（1）求tanA的值；（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（xR）的值域考点：三角函数的恒等变换及化简求值；数量积的坐标表达式；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（1）根据 =0，利用向量的基本运算求得得，利用tanA=求得答案；（2）首先对函数f（x）化简，然后根据sinx1，1，可知当时，f（x）有最大值；当sinx=1时
23、，f（x）有最小值，求出函数的值域解答：解：（1）由题意得，（2分）因为cosA0，所以tanA=2（4分）（2）由（1）知tanA=2得（6分）因为xR，所以sinx1，1（7分）当时，f（x）有最大值；（9分）当sinx=1时，f（x）有最小值3；（11分）故所求函数f（x）的值域是（12分）点评：本题考查向量的数量积，三角函数的二倍角，函数的值域，做题时注意正弦函数的值域属于基础题17（13分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1，AA1=AB=2a，D、E分别为CC1、A1B的中点（1）求证：DE平面ABC；（）求证：AEBD；（）求三棱锥DA1BA的体积考点：直线与平面垂直的性质；直
24、线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；（）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（）利用三棱锥的体积计算公式即可得出解答：证明：（）如图所示：取AB的中点F，连接EF、CF、ED又BE=EA1，由已知得，四边形EFCD为平行四边形，EDFC又ED平面ABC，CF平面ABCED平面ABC（）由正三棱柱ABCA1B1C1，可得A1A底面ABC，A1ACF由F是正ABC的边AB的中点，CFAB又A1AAB=A，CF侧面ABB1A1，EDFC，DE侧面ABB1A1DEAE在等腰ABA1中，由AB=A
25、A1，BE=EA1AEA1B又A1BDE=EAE平面A1BDAEBD（）由（）可知：DE侧面ABB1A1，且=点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及三棱锥的体积计算公式是解题的关键18（13分）某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A（m2）的宿舍楼已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m2，以后每增2014-2015学年高一层，其建筑费用就增加30元/m2试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用（总费用为建筑费用和征地费用之和）考点：
26、函数模型的选择与应用 专题：计算题分析：如果设楼高为x层，总费用为y元，那么征地面积为m2，征地费用为元，楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（x2）；则总费用y=建筑费用+征地费用，整理化简，可得总费用y的最小值及对应的x值解答：解：设楼高为x层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（x2）=445x+301+2+3+（x2）=445x+15x245x+30=15x+400A元，从而总费用为：（x0）；整理化简，得，当且仅当，解得x=20（层）时，总费用y最小故当
27、这幢宿舍的楼高层数为20层时，最小总费用为1000A元点评：本题考查了等差数列前n项和公式，基本不等式a+b2（其中a0，b0）的应用；本题中求前n项和时要注意项数是多少，以免出错19（14分）已知数列an的前n项和Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）都在函数f（x）=2x+24的图象上（I）求数列an的通项公式；（）设bn=anlog2an，求数列bn的前n项和Tn考点：等比数列的通项公式；数列的求和 专题：计算题分析：（I）要求数列的通项公式，当n大于等于2时可根据数列的前n项的和减去数列的前n1项的和求出，然后把n=1代入验证；（II）要求数列bn的前n项和Tn可先求出该数列的通项公式，
28、列举出数列的各项，然后利用错位相减法得到数列的前n项的和即可解答：解：（I）由题意，Sn=2n+24，n2时，an=SnSn1=2n+22n+1=2n+1当n=1时，a1=S1=234=4，也适合上式数列an的通项公式为an=2n+1，nN*；（II）bn=anlog2an=（n+1）2n+1，Tn=222+323+424+n2n+（n+1）2n+12Tn=223+324+425+n2n+1+（n+1）2n+2得，Tn=232324252n+1+（n+1）2n+2=2323（2n11）+（n+1）2n+2=（n+1）2n+2232n1=（n+1）2n+21n+2=n2n+2点评：本题考查了利用
29、做差法求数列通项公式，利用错位相减法求数列的前n项的和，以及利用等比数列的前n项和的公式，学生做题时应注意利用做差法时讨论n的取值20（14分）如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点（1）求椭圆C的方程；（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程 分析：（1）根据A（0，1）是椭圆C的顶点得a值，根据离心率为，求出b值，从而求椭圆C的方程；（2）欲求双曲线E的方程，只须求出其实轴长即可，而要使双曲线E的实轴最长，只需|MF1|MF
30、2|最大即可，根据对称性知，直线F2F1与直线l的交点即为所求的点M即能使|MF1|MF2|最大，从而问题解决解答：解：（1）由题意可知，b=1（1分）e=即a2=5（3分）所以椭圆C的方程为：（4分）（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则可知F1（2，0），F2（2，0），直线l方程为：xy+1=0（6分）因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，只需|MF1|MF2|最大又F1（2，0）关于直线l：xy+1=0的对称点为F1（1，1），则直线F2F1与直线l的交点即为所求的点M（9分）直线F2F1的斜率为k=，其方程为：y=（x2）解得M（，）（12分）又2a=|MF1|MF2|=|M
31、F1|MF2|F2F1|=amax=，此时b=，故所求的双曲线方程为=1（14分）点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在2015届高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法21（14分）已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx（1）如果函数y=f（x）在1，+）上是单调减函数，求a的取值范围；（2）是否存在实数a0，使得方程=f（x）（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出
32、a的取值范围；若不存在，请说明理由考点：函数在某点取得极值的条件；二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断 专题：压轴题；数形结合；分类讨论；导数的综合应用分析：（1）函数y=f（x）在1，+）上是单调减函数，则1，+）为函数f（x）的减区间的子集，分a=0，a0，a0三种情况讨论即可；（2）把方程=f（x）（2a+1）整理为，即方程ax2+（12a）xlnx=0，设H（x）=ax2+（12a）xlnx（x0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点利用导数判断出函数H（x）的单调性、最小值，求出区间端点处的函数值，借助图象可得不等式组，解出即可；解答：解：（1）当a=0时
33、，f（x）=2x在1，+）上是单调增函数，不符合题意；当a0时，y=f（x）的对称轴方程为x=，y=f（x）在1，+）上是单调增函数，不符合题意；当a0时，函数y=f（x）在1，+）上是单调减函数，则1，解得a2，综上，a的取值范围是a2；（2）把方程=f（x）（2a+1）整理为，即方程ax2+（12a）xlnx=0，设H（x）=ax2+（12a）xlnx（x0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点H（x）=2ax+（12a）=，令H（x）=0，因为a0，解得x=1或x=（舍），当x（0，1）时，H（x）0，H（x）是减函数；当x（1，+）时，H（x）0，H（x）是增函数H（x）在（，e）内有且只有两个不相等的零点，只需，即，所以，解得1a所以a的取值范围是（1，）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、方程根的个数问题，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，考查学生对问题的分析解决能力，能力要求较高