1、江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期3月线上模拟考试试题（含解析）参考公式：样本数据的方差，其中.柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高.锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】先确定集合中元素，然后由交集定义潮解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键2.复数模为2，其中为虚数单位，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】化复数为代数形式，再由模的定义计算后解方程可得【详解】，故答案为：0【点睛】本题考查复数的模的
2、运算，解题时由复数乘法化简复数为代数形式，再由模的定义计算3.如图是某算法的伪代码，则输出的S的值是_【答案】9【解析】【分析】模拟程序运算，观察变量值，判断循环条件可得结论【详解】程序循环时，变量值依次为：，满足条件；，满足条件；，不满足条件，结束循环，输出故答案为：9【点睛】本题考查算法语句,伪代码，考查循环语句，解题可模拟程序运算，判断循环条件，得出结论4.已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是_【答案】8【解析】【分析】计算均值，再由方差公式得结论【详解】由题意，故答案为：8【点睛】本题考查方差的计算，掌握方差计算公式是解题基础5.函数，则_【答案】1【解析】【分析】先计算
3、，再计算【详解】由题意，故答案为：1【点睛】本题考查分段函数，求分段函数值，解题时根据自变量的不同范围选择不同的表达式计算即可6.因疫情需要，从A地区3名主治医师和2名护士中任选3人参加B地区救治援助，则选出3人中至少有1名护士的概率是_【答案】【解析】【分析】把5人编号，写出任选3人的所有基本事件，再得出3人中至少有1名护士的基本事件，然后可计算概率【详解】3名主治医师和2名护士编号为：，任选3人的所有基本事件为：，共10个，其中至少有1名护士的有，共9个，概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型，解题关键是有列举法写出所有基本事件7.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该双曲线的渐近线
4、方程是_【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，即双曲线的焦点，从而求得后可得渐近线方程【详解】抛物线中，焦点为，双曲线中，渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程解题中要注意双曲线中8.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_【答案】【解析】【分析】由已知条件求出首项和公差，即可得通项公式【详解】设数列公差为，由已知得，解得故答案为：【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前项和公式，解题方法是基本量法，即用和表示已知并求出，再由和解决其他问题9.在棱长为2的正方体中，M为的中点，则三棱锥的体积是_【答案】【解析】【
5、分析】由棱锥的体积公式进行转换【详解】是中点，故答案为：【点睛】本题考查棱锥的体积，解题时利用同底的棱锥体积比等于高的比进行转化10.已知P为指数函数图象上一点，Q为直线上一点，则线段PQ长度的最小值是_【答案】【解析】【分析】求出上与直线平行的切线方程（切点坐标），两平行线间的距离（切点到直线的距离）就是所求最小值【详解】设图象上斜率为1的切线的切点是，由，即到直线的距离是故答案为：【点睛】本题考查曲线上点到直线距离的最小值，解题时把问题转化为直线与曲线上平行于此直线的切线间的距离，也即切点到此直线的距离，本题考查了导数的几何意义11.定义在R上的偶函数满足，且当时，；当且时，有，则函数在是
6、的零点个数是_【答案】4【解析】【分析】由已知等式得出函数的周期性，由已知导数的不等关系得函数在上的单调性，结合当时，可在坐标系作出其大致图象，然后再作出的图象，由图可得结论【详解】，函数是周期函数，周期为当且时，有，则时，递减，时，递增，当时，且是偶函数，周期为2，在同一坐标系中作出的大致图象和的图象，由图可知，在上的零点个数为4故答案为：4【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把零点个数转化为函数图象的交点个数解题关键是由已知导数的不等式确定函数的单调性，从而结合周期性和奇偶性能作出函数的大致图象12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，设A(2，0)，F为椭圆C的左焦点.若椭圆
7、C上存在点P，满足，则椭圆C离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设，运用两点间距离公式，化简已知条件得点的轨迹方程，知轨迹是圆，由圆到椭圆相交，可得的不等关系，从而求得离心率的取值范围【详解】由题意，设，则，化简得由得，又椭圆与圆有公共点，离心率故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围，解题关键是求出点轨迹方程得其轨迹，由两曲线有公共点得椭圆中的不等关系13.圆的内接正六边形的边长为1，若P为弓形内任意一点（如图所示的阴影部分，含边界），则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，把向量数量积用坐标表示，问题转化为点在阴影部分，求取值范围，结合图形可得【详
8、解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，令，易知直线就是直线，平移直线，当与重合时，当直线与阴影部分的弧相切时，即所求取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法建立平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示出来，从而把问题转化为求的取值范围，这就是非线性可行域的简单的线性规划问题14.在中，角的对边分别为，若，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理化边为角，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简已知条件，由已知条件可把转化为可用基本不等式求最值的形式，从而得到最小值【详解】，由正弦定理得，当且仅当时取等号，的最小值是故答案为：【点睛】本题考
9、查考查正弦定理，考查诱导公式、两角和的正弦公式，在三角形与三角函数综合问题中，出现边的齐次式时，常常正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换公式化简变形二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两角差的余弦公式求值；（2）由同角间的三角函数关系求出，由正切二倍角公式得，最后由两角差的正切公式求值【详解】解：（1）因为为锐角，所以.因为为锐角，所以，同理可得，.所以.所以的值为 （2）由，得.因为，为锐角，所以所以.所以. 所以的值为【点
10、睛】本题考查两角差的余弦公式、正切公式，考查同角间的三角函数关系，利用三角函数公式时应注意的问题：(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用16.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点是上一点，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】分析】（1）由中位线定理得线线平行后可得线面平行；（2）直三棱柱中由面面垂直的性质定理得线面垂直，平面，从而得线线垂直，再由已知线线垂直得线面垂直，从而得面面垂
11、直【详解】证明：（1）在中，分别为的中点，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为为直三棱柱，所以平面.因为平面，所以因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以. 由（1）得，所以.因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直，解题关键是掌握线面平行和面面垂直的判定定理，特别要掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直间的相互转化17.已知椭圆的离心率为，左焦点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点关于直线的对称点在圆上，求实数的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）焦点坐标得，再由离心率得，从而可得，于是
12、有椭圆标准方程；（2）设，将代入，化简得一元二次方程，从而可得的横坐标，由中点坐标公式得中点的横坐标，由直线方程得纵坐标，然后由对称性得点坐标，利用点在圆上可求得【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，则因为椭圆的离心率为，所以，即因为椭圆的左焦点为，所以，所以所以椭圆的方程为（2）设，将代入，化简得，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，解得所以.所以.因为，关于直线的对称，所以，解得因为点在圆上，所以，即，解得.又，所以或.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题及直线的对称性考查了由韦达定理求解中点坐标，由对称性得对称点坐标的问题，还考查了学生的运算求解能力18.如图是一幅招贴画的
13、示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为，.（1）求关于的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角满足：时，招贴画最优美.【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类时，点P在线段OG上，当时，点P在线段GH上，当 时，.求出半径后可得弦长；（2）由（1）的分类讨论求得.，令，用导数的知识求它的最大值即可得【详解】解：（1）当时，点P在线段OG上，；当时，点P在线段GH上
14、，；当 时，. 综上所述，. 所以，弧AD的长，故所求函数关系式为，. （2）当时，；当时，；当 时，所以，.从而，. 记，. 则. 令，得. 因为，所以，从而， 显然，所以.记满足的，下面证明是函数的极值点.设，.则=在上恒成立， 从而在上单调递减，所以，当时，即，在上单调递增；当时，即，在上单调递减.故 在处取得极大值，也是最大值.所以，当满足时，函数即取得最大值，此时招贴画最优美.【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和19.如果无穷数列an满足条件：； 存在实数M，使得anM，其中nN*，那么我们称数列an为数列.（1
15、）设数列bn的通项为bn20n2n，且是数列，求M的取值范围；（2）设cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3，S3，证明：数列Sn是数列；（3）设数列dn是各项均为正整数的数列，求证：dndn1.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出数列的最大项即可得；（2）由等比数列的基本量法求出，根据数列新定义证明即可；（3）用反证法，假设存在正整数，使得，由数列dn是各项均为正整数得，即.然后利用新定义归纳，这样由可得数列从某一项开始为负与已知矛盾从而证得结论【详解】解：（1）因为bn20n2n，所以，所以当时，；当时，所以数列bn的最大项是，所以，所以
16、M的取值范围是.（2）设cn的公比为，则，c3，整理得，解得或，因为，所以.因为cn是等比数列，所以所以.因为，所以数列Sn是数列.（3）假设存在正整数，使得，由数列dn是各项均为正整数得，即.因为数列dn是数列，所以，所以，同理，依此类推，得.因为数列dn是数列，所以存在，所以当时，与数列dn各项均为正整数矛盾，所以假设不成立，即对任意的正整数，dndn1【点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义，转化为求数列的最大值，研究数列的不等关系20.已知函数（1）若，求的最大值；（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称为的“伴随函数”.已知函数，.若在区间上，函数是的“伴随函数”，求
17、实数的取值范围；（3）若，正实数满足，证明：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由导数研究函数的单调性得出最大值；（2）问题等价于对恒成立， 且对恒成立，利用导数研究不等式恒成立可得参数取值范围；（3）把，变形为（令），求出的最小值后解相应不等式（关于的不等式），可得结论【详解】解：（1）当时，当时，令，解得.列表如下：0极大值所以，当时取得极大值，也即是最大值.所以的最大值是（2）在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立， 且对恒成立， （*） 若，令，得极值点，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，在上有
18、，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，也不合题意；若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只需满足，所以.又因为在上是减函数.，所以.综合可知的取值范围是.（3）当时，.因为，所以.令，则，令则令解得当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时取得极大值即最大值，所以，解得【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究函数新定义，证明不等式，解题关键是用新定义把问题转化为不等式恒成立，而用导数证明不等式，转化为求函数的最值转化与化归思想贯穿解题过程的始终本题对学生的运算求解能力，逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力的要求较高，属于困难题21.已知矩阵，向
19、量.求向量，使得.【答案】【解析】【分析】由矩阵乘法求出，设，由已知等式得出的方程组，可解得，得向量【详解】解：因为，所以设，则=所以解得，所以.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线交于两点，求线段的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由公式可得曲线的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的
20、距离，由勾股定理计算弦长【详解】（1）因为，所以 即.因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以，所以l的直角坐标方程为所以圆心到直线l的距离，所以，所以线段的长度为【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化考查圆的弦长问题求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长23.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每
21、次测试通过与否互相独立.（1）求该学生考上大学的概率.（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的概率分布及X的数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，就是五次都未通过，或者5次考试中只有1次通过，由对立事件概率公式可得（2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，分别计算概率，注意事件的含义，如表示前3次中只有1次通过，而第4次通过，便还包括5次都没通过由此可得分布列，再由期望公式计算期望【详解】解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，每次测试通过与否互相独立，则所以
22、，所以该学生考上大学的概率为.（2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，则，.所以X的概率分布为：X2345P所以X的数学期望为【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，考查对立事件的概率，考查随机变量概率分布列和期望本题难点在于对事件的理解24.记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为.（1）求;（2）若,对n2,3,4成立,求实数的值;（3）对（2）中的实数,用数学归纳法证明:对任意且都成立.【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）化简,即可求得答案;（2）由,得到关于的方程组,即可求得答案;（3）先根据当时,等式成立;假设时关系成立,利用变形可得时关系也成立,综合得到对于任意时都成立,即可求得答案.【详解】（1） 展开式中含项的系数为（2）则解得（3）当时,由（2）知等式成立假设当(,且)时,等式成立,即当时,由可得又上式,即等式也成立综上所述,对任意且,都有成立【点睛】本题的解题关键是掌握多项式相乘和组合数公式,及其掌握数学归纳法的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
