1、中档大题规范练6导数的应用1已知函数f(x)ex(x2bxc)，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x1.(1)求f(x)的解析式；(2)讨论f(x)的单调区间解(1)因为f(x)ex(x2bxc)，所以f(x)exx2(2b)xbc因为yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x1，又f(0)4，所以bc4.又f(0)c1，所以b3.所以f(x)ex(x23x1)(2)由(1)得f(x)ex(x23x1)，所以f(x)ex(x25x4)令f(x)0，即x25x40，解得x1；令f(x)0，即x25x40，解得4x0，故f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)0
2、x22a0x22a，解得x或x(舍)所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，单调递增区间是，)综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递减区间是(0，单调递增区间是，)(2)因为g(x)f(x)x22aln x，所以g(x)x，因为g(x)f(x)在区间1,4上是单调递增函数，所以g(x)0，即x32ax20在区间1,4上恒成立，即2ax2在区间1,4上恒成立设h(x)x2 (x1,4)，则h(x)2x.(1)解函数f(x)的定义域为(1，)，求导得f(x)2x，令g(x
3、)2x22xb，当g(x)0在(1，)上无解，即b时，f(x)在(1，)上单调递增当g(x)0在(1，)上有两个不等实根，即2x22xb0在(1，)上有两个不等实根，则即0b，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当g(x)0在(1，)上有两个相等的实根，即b时，f(x)在(1，)上单调递增(2)证明当b1时，f(x)x2ln(x1)，令h(x)f(x)xx2ln(x1)x(x1)，h(x)2x，当x1时，h(x)0，所以函数h(x)在1，)上是增函数由已知，不妨设1x1x2，则h(x1)h(x2)，f(x1)x1.4已知函数f(x)x2 (x0，aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性
4、，并说明理由；(2)若函数f(x)在2，)上为增函数，求a的取值范围解(1)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2 (a0，x0)，令x1，得f(1)1a.令x1，得f(1)1a.f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)若函数f(x)在2，)上为增函数，则f(x)0在2，)上恒成立，即2x0在2，)上恒成立，即a2x3在2，)上恒成立，只需a(2x3)min，x2，)，a16，a的取值范围是(，165已知函数f(x)x2axln x
5、.(1)求函数f(x)的极值点；(2)若函数f(x)在区间2,6内有极值，求a的取值范围解(1)因为f(x)x2axln x，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)xa.令f(x)0，即x2ax10，则a24.若a240，即2a2时，f(x)0，所以当2a2时，f(x)在(0，)上单调递增，无极值点若a240，即a2时，方程x2ax10的解为x.()当a2时，0.所以f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.所以f(x)的极大值点为，f(x)的极小值点为.()当a2时，0，0.所以当a2时，f(x)的极大值点为，f(x)的极小值点为.(2)因为函数f(x)在区间2,6内有极值，所以f(x)
6、0在区间2,6内有解，所以x2ax10在区间2,6内有解，所以ax在区间2,6内有解设h(x)x，对x2,6，h(x)10，所以h(x)在2,6内单调递增所以h(x).故a的取值范围为.6已知函数f(x)ln x，aR.(1)当a1时，求函数f(x)在4，)上的最小值；(2)令g(x)f(x).若方程e2g(x)ln xf(x)在上有解，求实数a的取值范围；若G(k)g(k)g(k1)，k2，kN*，证明：当n2，nN*时，总有G(2)G(3)G(n).解(1)当a1时，f(x)ln x，当x4，)时，f(x)0，所以函数f(x)在4，)上单调递增，当x4时，f(x)取得最小值f(4)ln 4.(2)g(x)f(x)ln x.因为原方程即e2ln x在上有解，所以x2在上有解，所以ax3x，x.令yx3x，x，则y3x2，x，由y0，得x(舍去)，则x时，y0，函数yx3x在上递增，x时，y0，即ln x对x4，)恒成立，而k(k1)4，k2，kN*，所以G(k)ln k(k1)，k2，kN*恒成立，所以G(2)G(3)G(n)(n1)(n1)()2，n2，nN*恒成立又在2，)上递增，且n2时，所以当n2，nN*时，总有G(2)G(3)G(n).
