1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一数列与函数的综合1.设an是等比数列,函数y=x2-x-2 021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于()A.2 021B.1C.-1D.-2 0212.在各项都为正数的数列an中,首项a1=2,且点(,)在直线x-9y=0上,则数列an的前n项和Sn等于()A.3n-1B.C.D.3.已知f(x)=2sin x,集合M=x|f(x)|=2,x0,把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列an,nN*.数列an的通项公式为_.4.已知函数f(x)=
2、log2x,若数列an的各项使得2,f(a1),f(a2),f(an),2n+4成等差数列,则数列an的前n项和Sn=_. 【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.选A.由点(,)在直线x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列an各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-10,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列an是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn=3n-1.3.因为|f(x)|=2,所以x=k+,kZ
3、,x=2k+1,kZ.又因为x0,所以an=2n-1(nN*).答案:an=2n-1(nN*)4.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,从而a1=24,a2=26,a3=28,.易知数列an是等比数列,其公比q=4,所以Sn=(4n-1).答案:(4n-1)1.将题2改为已知函数f(x)=x的图象过点(4,2),令an=,nN*.记数列an的前n项和为Sn,则S2 021等于()A.-1B.-1C.-1D.2+1【解析】选C.由f(4)=2可得4=2,解得=,则f(x)=.所以an=-,S2 021=
4、a1+a2+a3+a2 021=(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=-1.2.数列an的通项an=ncos2-sin2,其前n项和为Sn,则S40为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,an=ncos2-sin2=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,则S40=(a1+a3+a39)+(a2+a4+a6+a40)=-2+4-+40=20.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决
5、函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.【秒杀绝招】特例法解T2:由题意(, )在直线x-9y=0上,所以9=0,因为a1=2,易得a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.考点二数列与不等式的综合【典例】已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n2).(1)求数列an的通项公式an.(2)求证:+-.【解题导思】序号题目拆解(1)an=-2SnSn-1(n2)利用an=Sn-Sn-1将an=-2SnSn-1转化为Sn,
6、Sn-1的关系求数列an的通项公式an先求出,利用an=-2SnSn-1进而求得an.(2)求证:+-.由(1)得Sn=,由=,放缩后利用裂项相消法求和是解题的关键【解析】(1)因为an=-2SnSn-1(n2),所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1.两边同除以SnSn-1,得-=2(n2),所以数列是以=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以=+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.将Sn=代入an=-2SnSn-1,得an=(2)因为=(n2),=,所以当n2时,+=+=-;当n=1时,=-.综上,+-.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单
7、调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式.(2)证明：+.【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+=，所以是首项为，公比为3的等比数列.所以an+=，因此an的通项公式为an=.(2)由(1)知=.因为当n1时，3n-123n-1，所以.于是+1+=.所以+.考点三数列与函数、不等式的综合应用命题精解读考
8、什么:(1)考查求最值、比较大小、求取值范围等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养及 函数与方程、转化与化归等思想方法.怎么考:以数列为载体,考查利用函数的性质、图象或不等式的性质进行放缩、比较大小、求范围或最值、证明结论等.新趋势:与函数、不等式综合问题的考查学霸好方法1.求最值(或取值范围)问题的解题思路先构造数列对应的函数y=f(x),x(0,+).再由以下方法求最值:(1)利用函数的单调性(2)利用均值不等式(3)利用导数注意是在正整数内讨论的.2.交汇问题与函数、不等式交汇时,依据函数或不等式的性质求解.求最值问题【典例】1.在等差数列an中,若a10,Sn为其前n项和且S7
9、=S17,则Sn最小时的n的值为()A.12或13B.11或12C.11D.122.在正项等比数列an中,为a6与a14的等比中项,则a3+3a17的最小值为()A.2B.89C.6D.3【解析】1.选D.由S7=S17,依据二次函数对称性知当n=12时,Sn最小.2.选C.因为an是正项等比数列,且为a6与a14的等比中项,所以a6a14=3=a3a17,则a3+3a17=a3+32=6,当且仅当a3=3时,等号成立,所以a3+3a17的最小值为6.求等差数列前n项和的最值常用的方法有哪些?提示:(1)利用等差数列的单调性,求出最值;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将
10、等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.比较大小【典例】数列an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9b4+b10B.a3+a9b4+b10C.a3+a9b4+b10D.a3+a9与b4+b10的大小不确定【解析】选B.因为a3+a92=2=2a6=2b7=b4+b10,当且仅当a3=a9时取等号.本题利用均值不等式比较两个式子的大小,恰到好处.利用均值不等式时一定要满足其成立的三个条件分别是什么?提示:(1)a,b均为正数.(2)a,b的和或积必须有一个为定值.(3)a=b时等号成立.求取值范围问题【
11、典例】设数列an的通项公式为an=2n-1,记数列的前n项和为Tn,若对任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,则实数a的取值范围为_.【解析】因为an=2n-1,所以=,所以Tn=,又4Tn0,解得,q=,因为存在两项am,an使得8=a1,所以64qm+n-2=,整理,得m+n=8,所以+=(m+n)=2,当且仅当=时取等号,此时m,nN*,又m+n=8,所以只有当m=6,n=2时,+取得最小值是2.答案:22.已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(nN*)在函数y=32x的图象上,等比数列bn满足bn+bn+1=an(nN*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是()A.S
12、n=2TnB.Tn=2bn+1C.TnanD.Tnbn+1【解析】选D.因为点(n,Sn+3)在函数y=32x的图象上,所以Sn+3=32n,即Sn=32n-3.当n2时,an=Sn-Sn-1=32n-3-(32n-1-3)=32n-1,又当n=1时,a1=S1=3,所以an=32n-1.设bn=b1qn-1,则b1qn-1+b1qn=32n-1,可得b1=1,q=2,所以数列bn的通项公式为bn=2n-1.由等比数列前n项和公式可得Tn=2n-1.结合选项可知,只有D正确.若定义在R上的函数y=f(x)是奇函数且满足f=f(x),f(-2)=-3,数列an满足a1=-1,且=2+1(其中Sn
13、为an的前n项和),则f(a5)+f(a6)=()A.-3B.-2C.3D.2【解析】选C.由f=f(x)可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=.又函数y=f(x)是奇函数,所以有f=f(x)=-f,所以f=-f(x),即f(x-3)=f(x),所以函数y=f(x)的周期为3.由=2+1得Sn=2an+n.当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+n-(2an-1+n-1)=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,则f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0).由函数y=f(x)是奇函数可得f(0)=0,由f(-2)=-3可得f(-2)=f(1)=-3,所以f(a5)+f(a6)=3.关闭Word文档返回原板块
