1、2016年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若i为虚数单位，则=（）A1+iB1iCiDi2若x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值是（）A4BC1D23已知如程序框图，则输出的i是（）A9B11C13D154设a=log412，b=log515，c=log618，则（）AabcBbcaCacbDcba5已知f（x）=2x+3（xR），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是（）ABCD6已知双曲线=1（a0，b0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点
2、为B1，B2，两焦点为F1，F2若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）ABCD7已知关于x的不等式（ab1）的解集为空集，则的最小值为（）AB2CD48如图，已知：|AB|=|BC|=4，ACB=90，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是（）ABCD二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为10某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为11在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为sin（+）=1，圆C的参数方程为（为参数
3、）求直线l与圆C相交所得弦长为12（1+x）6（1x）6展开式中x6的系数为13如图：PA为O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为14已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15已知向量，设函数（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，ABC的面积为，求a的值16一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别ABC数量432同一类轿车完全相同
4、，现准备提取一部分车去参加车展（）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记为a，b，c的最大值，求的分布列和数学期望17如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点（）求证：FG平面PED；（）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由18已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上（
5、1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由19已知等差数列an的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列bn满足：b1=，bn+1=bn（nN+），记数列bn的前n项和为Tn（1）求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn；（2）求数列bn的通项公式bn及前n项和公式Tn；（3）记集合M=n|，nN+，若M的子集个数为16，求实数的取值范围20设函数f（x）=aln（1+x），g（x）=ln（1+x）bx（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数
6、f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）0在（0，+）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式1lnn（n=1，2）2016年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若i为虚数单位，则=（）A1+iB1iCiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，故选：D2若x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值是（）A4BC1D2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组
7、对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2xy的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点C时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2xy，得z=21=1即z=2xy的最大值为1故选：C3已知如程序框图，则输出的i是（）A9B11C13D15【考点】循环结构【分析】写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出【解答】解：经过第一次循环得到S=13=3，i=5经过第二次循环得到S=35=15
8、，i=7经过第三次循环得到S=157=105，i=9经过第四次循环得到S=1059=945，i=11经过第五次循环得到S=94511=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C4设a=log412，b=log515，c=log618，则（）AabcBbcaCacbDcba【考点】对数值大小的比较【分析】由于a=1+log43，b=1+log53，c=1+log63，而log43log53log63，即可得出【解答】解：a=log412=1+log43，b=log515=1+log53，c=log618=1+log63，而log43log53log63，abc故选：A5已知f（x）
9、=2x+3（xR），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是（）ABCD【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】化简|f（x）1|a得x化简|x+1|b得b1xb1，由题意可得（， ）（b1，b1），故b1，b1，由此求得a，b之间的关系【解答】解：|f（x）1|a即|2x+2|a，即a2x+2a，即x|x+1|b即bx+1b 即b1xb1|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），（， ）（b1，b1），b1，b1，解得b，故选A6已知双曲线=1（a0，b0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2
10、若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得2b2c=a4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b），F1（c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得2b2c=a4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a43a2c2=0，由e=，可得e43e2+1=0，解
11、得e2=，可得e=，（舍去）故选：A7已知关于x的不等式（ab1）的解集为空集，则的最小值为（）AB2CD4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用【分析】由题意得：，得利用此式进行代换，将T化成，令ab1=m，则m0，利用基本不等式即可求出T的最小值【解答】解：由题意得：，得，令ab1=m，则m0，所以则的最小值为4故选D8如图，已知：|AB|=|BC|=4，ACB=90，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出与，然后求解的表达式，求出最大值即可【解答】解：建立如图所示的直角坐标系
12、，则A（2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，2），设D（2cos，2sin）=（4，2），=（22cos，2sin）=4（22cos）+4sin=88cos+4sin=8+4sin（），其中tan=2sin（）1，1，的最大值是8+4，故选：A二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用【分析】射线画出函数图象，明确f（x）与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可【解答】解：函数f（x）=，则f（x的）与x轴围成封闭图形如图，其面积为： =；故答案为：10某几何体的三视图如图，则该几何
13、体的体积为2【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是以侧视图为底面，高为2的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解答】解：由题意，几何体的直观图是以侧视图为底面，高为2的四棱锥体积V=2，故答案为：211在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为sin（+）=1，圆C的参数方程为（为参数）求直线l与圆C相交所得弦长为【考点】参数方程化成普通方程【分析】分别把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式：弦长=2，即可得出【解答】解：直线l的极坐标方程为sin
14、（+）=1，展开可得：sin+=1，化为直角坐标方程：x+y2=0圆C的参数方程为（为参数），化为普通方程： =4，可得圆心，半径r=2圆心C到直线l的距离d=直线l与圆C相交所得弦长=2=2=故答案为：12（1+x）6（1x）6展开式中x6的系数为20【考点】二项式定理的应用【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得=（1x2）6 开式中x6的系数为，计算求的结果【解答】解：（1+x）6（1x）6=（1x2）6 开式中x6的系数为=20，故答案为：2013如图：PA为O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接AB，利用切
15、割线定理先求出PC，进而求出BC；在RtABC中，利用勾股定理有BC2=AC2+AB2；再利用弦切角定理，可知PAB=BAC，再加上一组公共角，可证PABPCA，那么就有PC：AC=PA：AB；两式联合可求AC【解答】解：连接AB，根据切割线定理有，PA2=PBPC，102=5（5+BC），解得BC=15，又PAB=PCA，APB=CPA，APBCPA，PA：AB=PC：AC，10：AB=20：AC；BC是直径，AB2+AC2=BC2，AB2+AC2=152；联立解得AC=故答案为：14已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4【考点】根的存在性及
16、根的个数判断【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=f（x）1，分别作出函数的图象，即可得出结论【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=f（x）1g（x）与h（x）=f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与（x）=f（x）1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15已知向量，设函数（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，ABC的面积为，求a的值
17、【考点】平面向量的坐标运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1）用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求【解答】解：（1），=令f（x）的单调区间为，kZ（2）由f（A）=4得又A为ABC的内角c=216一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别ABC数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展（）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a
18、，b，c，记为a，b，c的最大值，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式【分析】（）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可（）随机变量的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可【解答】（本小题满分12分）解：（）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，（）随机变量的取值为2，3，4，其分布列为：234p数学期望为17如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点（）求证：FG平面PED；（）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（）在线段PC
19、上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法【分析】（）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；（）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为60转化为两向量所成的角为60，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结
20、论【解答】（）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE又FG平面PED，PE平面PED，所以FG平面PED（）解：因为EA平面ABCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD，PDCD又因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD如图建立空间直角坐标系，因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）所以，设为平面FGH的一个法向量，则，即，再令y1=1，得，设为平面PBC的一个法向量，则，即，令z2=1，得
21、所以=所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为（）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60依题意可设，其中01由，则又因为，所以又直线FM与直线PA成60角，所以，即，解得：所以，所以，在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60，此时PM的长为18已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由
22、【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2|OM|2求出|PQ|，可得结论【解答】解：（1）椭圆+=1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，由题意，得，解得a=3，b=2椭圆方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|3）|PF2|2=（x11）2+y12=（x19）2，|PF2|=3x1，连接OM，OP，由相切条件知：
23、|PM|2=|OP|2|OM|2=x12+y128=x12，|PM|=x1，|PF2|+|PM|=3同理可求|QF2|+|QM|=3|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6为定值19已知等差数列an的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列bn满足：b1=，bn+1=bn（nN+），记数列bn的前n项和为Tn（1）求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn；（2）求数列bn的通项公式bn及前n项和公式Tn；（3）记集合M=n|，nN+，若M的子集个数为16，求实数的取值范围【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，
24、得到数列bn的通项公式，再利用错位相减法求出前n项和公式Tn；（3）根据函数的的单调性，得到不等式，nN+继而求实数的取值范围【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意得，解得，an=n，（2）由题意得，累乘得由题意得得：（3）由上面可得，令，则f（1）=1，下面研究数列的单调性，n3时，f（n+1）f（n）0，f（n+1）f（n），即f（n）单调递减集合M的子集个数为16，M中的元素个数为4，不等式，nN+解的个数为4，20设函数f（x）=aln（1+x），g（x）=ln（1+x）bx（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g
25、（x）0在（0，+）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式1lnn（n=1，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值，得a=1，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；（2）由已知得：再对b分情况讨论：若b1，若b0，若0b1综合得出b的取值范围是x1，+）；（3）由前两问综合得出【解答】解析：（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值，a=1，当x（1，0）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递减；函数f（x）的最大值为f（0）=0（2）由已知得：若b1，则x0，+）时，g（x）=ln（1+x）bx在0，+）上为减函数，g（x）=ln（1+x）bxg（0）=0在（0，+）上恒成立；若b0，则x0，+）时，g（x）=ln（1+x）bx在0，+）上为增函数，g（x）=ln（1+x）bxg（0）=0，不能使g（x）0在（0，+）上恒成立；若0b1，则时，当时，g（x）0，g（x）=ln（1+x）bx在上为增函数，此时g（x）=ln（1+x）bxg（0）=0，不能使g（x）0在（0，+）上恒成立；综上所述，b的取值范围是b1，+）（3）由（1）、（2）得：取得：令，则，因此又，故2016年8月27日
