1、53等比数列及其前n项和知识梳理1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2)，q为常数，q0.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；可推广为anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列的相
2、关性质设数列an是等比数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)SmnSnqnSmSmqmSn.(5)当q1或q1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列，公比为qk.当q1且k为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比数列(6)若a1a2anTn，
3、则Tn，成等比数列(7)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.诊断自测1概念思辨(1)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(2)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(3)在等比数列an中，如果mn2k(m，n，kN*)，那么amana.()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P53T1)若等比数列an满足a1a320，a2a440，则公比q()A1 B2 C2 D4答案B解析由题意，得解得故选B.(2)(必修A5P56例1)设an是公比为正数的等比数列，若
4、a11，a516，则数列an的前7项和为_答案127解析a5a1q4得q2，所以S7127.3小题热身(1)(2018华师一附中联考)在等比数列an中，a2a3a48，a78，则a1()A1 B1 C2 D2答案A解析因为数列an是等比数列，所以a2a3a4a8，所以a32，所以a7a3q42q48，所以q22，a11.故选A.(2)(2018安徽芜湖联考)在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或答案C解析根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.故选C.题型1等比数列基本量的运算(2017广东惠州第二次调研)已知an为等比数列，a4a
5、72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7方程组法答案D解析由a5a6a4a7，得a4a78，解得a44，a72或a42，a74，q3或q32.当q3时，a1a10a4q6427；当q32时，a1a10a4q6(2)(2)27.故选D.(2017金凤区四模)设等比数列an的前n项和为Sn，若S510，S1050，则S20等于()A90 B250 C210 D850把看成一个整体答案D解析由题意数列的公比q1，设首项为a1，S510，S1050，10，50，两式相除可得1q55，q54，S20(1256)850.故选D.方法技巧 等比数列的基本运算方法及数学思想1等比数列的基本运算
6、方法(1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题(2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为，x，xq，；连续偶数个项成等比数列，可设为，xq，xq3，(注意：此时公比q20，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便2基本量计算过程中涉及的数学思想方法(1)方程思想，即“知三求二”(2)分类讨论思想，即分q1和q1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视(3)整体思想应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解见典例2.冲关针对训练(2017江苏高考)
7、等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.答案32解析设an的首项为a1，公比为q，当q1时，S33a1，S66a12S3，不符合题意，所以q1，则解得所以a8272532.题型2等比数列的判断与证明已知数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*有anSnn.(1)设bnan1，求证：数列bn是等比数列；(2)设c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通项公式本题用定义法解(1)证明：由a1S11及a1S1，得a1.又由 anSnn及an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.数列bn是以b1a11为首项，为公比
8、的等比数列(2)由(1)知2an1an1.2anan11(n2)2an12ananan1.2cn1cn(n2)又c1a1，a2a1a22，a2.c2，c2c1.数列cn是首项为，公比为的等比数列cnn1n.条件探究将典例条件“anSnn”变为“a11，Sn14an2，若bnan12an”，(1)求证bn是等比数列，并求an的通项公式；(2)若cn，证明cn为等比数列解(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2，数列bn是公比为2的等比数列，首项为a22a1.S2a1a24a12，a25，b1a22a13.bn32n1an12an，3.数列是等差数列，公差为3，首项为2.2(n
9、1)33n1.an(3n1)2n2.(2)证明：由(1)知an(3n1)2n2，所以cn2n2.所以2.又c1，所以数列cn是首项为，公比为2的等比数列方法技巧等比数列的判定方法1定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列见典例2等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常
10、用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可冲关针对训练(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.题型3等比数列前n项和及性质的应用角度1等比数列性质的综合应用(2015安徽高考)已知数列an
11、是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_方程组法答案2n1解析由已知得，a1a4a2a38，又a1a49，则或又数列an是递增的等比数列，a1a4，a11，a48，从而q38，即q2，则前n项和Sn2n1.角度2等比数列的前n项和各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16q1，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列答案B解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4
12、(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.故选B.角度3等差数列与等比数列的综合(2015湖南高考)设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.利用方程思想方法答案3n1解析设等比数列an的公比为q(q0)，依题意得a2a1qq，a3a1q2q2，S1a11，S21q，S31qq2.又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(1q)31qq2，解得q3(q0舍去)所以ana1qn13n1.方法技巧1在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程常常利用等比数列项的
13、如下性质：(1)通项公式的推广：anamqnm；(2)等比中项的推广与变形：aaman(mn2p)及akataman(ktmn)(m，n，p，k，tN*)见角度1典例2对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为1的等比数列前n项和的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列比较简便见角度2典例冲关针对训练(2017滨海新区期中)已知递增等比数列an的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列(1)求an的首项和公比；(2)设Snaaa，求Sn.解(1)根据等比数列的性质，可得a3a5a7a512，解之得a58.设数列an的公比为q，
14、则a3，a78q2，由题设可得(8q29)2(83)10，解之得q22或.an是递增数列，可得q1，q22，得q.因此a5a1q44a18，解得a12.(2)由(1)得an的通项公式为ana1qn12()n1()n1，a()n122n1，可得a是以4为首项，公比等于2的等比数列因此Snaaa2n24.1(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏答案B解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的
15、总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.2(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84答案B解析设an的公比为q，由a13，a1a3a521得1q2q47，解得q22(负值舍去)a3a5a7a1q2a3q2a5q2(a1a3a5)q221242.故选B.3(2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.答案1解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则由a4a13d，得d3，由b4b1q3得q38，q2.1.4(2016全国卷)设等比数列
16、an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析等比数列an满足a1a310，a2a45，可得q(a1a3)5，解得q.a1q2a110，解得a18.则a1a2anaq123(n1)8n22，当n3或4时，表达式取得最大值22664.故答案为64. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018邢台摸底)已知数列an为等比数列，a51，a981，则a7()A9或9 B9C27或27 D27答案B解析依题意得aa5a981，又注意到q20(其中q为公比)，因此a5，a7的符号相同，故a79.故选B.2(2018安徽安庆模拟)数列an满足：an1an1(nN*，R且0)，若数列
17、an1是等比数列，则的值等于()A1 B1 C. D2答案D解析由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.故选D.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里 C48里 D24里答案B解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里故选B.4(2018浙江温
18、州十校联考)设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m()A3 B4 C5 D6答案C解析由已知得，SmSm1am16，Sm1Smam132，故公比q2.又Sm11，故a11.又ama1qm116，故(1)(2)m116，求得m5.故选C.5(2017福建漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5 C31 D33答案D解析设等比数列an的公比为q，则由已知得q1.S32，S618，得q38，q2.1q533.故选D.6(2017安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列an中，a2，a42，a5成等差数列，a12，Sn是数列
19、an的前n项的和，则S10S4()A1008 B2016 C2032 D4032答案B解析由题意知2(a42)a2a5，即2(2q32)2q2q4q(2q32)，得q2，所以an2n，S1021122046，S425230，所以S10S42016.故选B.7(2018上海黄浦模拟)已知an是首项为1的等比数列，若Sn是数列an的前n项和，且28S3S6，则数列的前4项和为()A.或4 B.或4C. D.答案C解析设数列an的公比为q.当q1时，由a11，得28S328384，S66，两者不相等，因此不合题意当q1时，由28S3S6及首项为1，得，解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所
20、以数列的前4项和为1.8(2018衡水模拟)已知Sn是等比数列an的前n项和，a1，9S3S6，设Tna1a2a3an，则使Tn取最小值时n的值为()A3 B4 C5 D6答案C解析设等比数列an的公比为q，由9S3S6知，q1，故，解得q2，又a1，所以ana1qn1.因为Tna1a2a3an，故当Tn取最小值时an1，且an11，即得n5.故选C.9(2018河南洛阳模拟)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7 C8 D9答案D解析a，b是函数f(x)x2px十q(p
21、0，q0)的两个不同的零点，abp，abq.p0，q0，a0，b0.又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，或解得解得pab5，q144.pq9.故选D.10(2017广东清远一中一模)已知正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在两项am，an，使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D不存在答案A解析正项等比数列an满足：a3a22a1，a1q2a1q2a1，即q2q2，解得q1(舍)或q2，存在两项am，an，使得4a1，aman16a，(a12m1)(a12n1)16a，a2mn216a，mn6，(当且仅当n2m时取等)，的最小值是.故选A.二、填
22、空题11(2014天津高考)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_答案解析S1a1，S22a11，S44a16.故(2a11)2a1(4a16)，解得a1.12(2014广东高考)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因为等比数列an中，a10a11a9a12，所以由a10a11a9a122e5，可解得a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln (a1a2a20)ln (a10a11)1010ln (a10a11)10ln e550.13(20
23、17广东潮州二模)已知Sn为数列an的前n项和，an23n1(nN*)，若bn，则b1b2bn_.答案解析由an23n1可知数列an是以2为首项，3为公比的等比数列，所以Sn3n1，则bn，则b1b2bn.14一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第_项答案6解析由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211255.当抽去一项后所剩下的10项之积为3210250，抽去的一项为25525025.又因a1a11a2a10a3a9a4a8a5a7a，a1a2a11a.故有a255，即a625.抽出
24、的应是第6项三、解答题15(2017海淀区模拟)已知an是等差数列，满足a12，a414，数列bn满足b11，b46，且anbn是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若nN*，都有bnbk成立，求正整数k的值解(1)设an的公差为d，则d4，an2(n1)44n2，故an的通项公式为an4n2(nN*)设cnanbn，则cn为等比数列c1a1b1211，c4a4b41468，设cn的公比为q，则q38，故q2.则cn2n1，即anbn2n1.bn4n22n1(nN*)故bn的通项公式为bn4n22n1(nN*)(2)由题意，bk应为数列bn的最大项由bn1bn4(n1)22n4n2
25、2n142n1(nN*)当n3时，bn1bn0，bnbn1，即b1b2b3；当n3时，bn1bn0，即b3b4；当n3时，bn1bn0，bnbn1，即b4b5b6.综上所述，数列bn中的最大项为b3和b4.故存在k3或4，使nN*，都有bnbk成立16(2015广东高考)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列an的通项公式解(1)4Sn25Sn8Sn1Sn1，n2时，4S45S28S3S1，4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，45811，解得a4.(2)证明：n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1，4(Sn2Sn1)2(Sn1Sn)2，(Sn2Sn1)(Sn1Sn)，an2an1.又a3a2，是首项为1，公比为的等比数列(3)由(2)知是首项为1，公比为的等比数列，an1ann1，两边同乘以2n1，得an12n1an2n4.又a222a1214，an2n是首项为2，公差为4的等差数列，an2n24(n1)2(2n1)，an.
