1、广东省潮州市2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）考试时间：120分钟一选择题（共12小题，每小题5分）1.若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（ ）A. 2B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，因为点在角的终边上，所以.故选：A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.2.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可求得
2、，由同角三角函数基本关系式可得.根据三角函数的诱导公式化简，即可求值.【详解】倾斜角为的直线与直线垂直，.代入，解得.故选：.【点睛】本题考查两条直线的位置关系、同角三角函数基本关系式和三角函数的诱导公式，属于基础题.3.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，得，则，故选C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大4.已知sin cos ，则sin cos 的值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】等式两边平方，求出2sinco
3、s的值，利用，判断出sincos小于0，再利用同角三角函数间基本关系开方即可【详解】sin+cos=，（sin+cos）2=sin2+cos2+2sincos=1+2sincos= ，所以2sincos= 又因为0，所以0sincossincos0，（sincos）2=sin2+cos22sincos=12sincos= ，则sincos= 故选A【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握sin cos ，sincos基本运算关系是解本题的关键，注意角的范围，属于基础题.5.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A. f(x)=cos 2xB. f(x)=sin 2xC.
4、f(x)=cosxD. f(x)= sinx【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数图象，即可做出选择【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A【点睛】利用二级结论：函数的周期是函数周期的一半；不是周期函数；6.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】只需根
5、据函数性质逐步得出值即可【详解】因为为奇函数，；又，又，故选C【点睛】本题考查函数性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数7.在中，点在线段上，且，点在线段上（与点，不重合）若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算法则和共线定理即可得出【详解】，即.，,即,，x的取值范围是，故选C.【点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：三点共线；为平面上任一点，三点共线，且.8.函数y=sin2x图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项
6、A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复9.已知，则的取值范围是（ ）A. B. 0，2C. D. 0，1【答案】A【解析】【分析】根据已知平面向量互相垂直建立直角坐标系，然后根据平面向量坐标表示公式，结合圆几何性质进行求解即可.【详解】设，因为，所以以、所在的直线为横轴、纵轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，因此，因为，即点.设,，因，所
7、以，所以点在以点为圆心，为半径的圆上，而表示圆上的点到原点的距离，圆心到原点的距离为，显然原点在圆上，由圆的几何意义可知，最大距离等于，最小距离为0，故选：A【点睛】本题考查了利用几何意义求平面向量模的最值问题，考查了平面向量坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.10.在中，在边的中线上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题【详解】解：由题意，画图如下：可设，由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值故选：【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量
8、表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题11.已知函数，则的所有零点之和等于A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点的定义，令，得，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.【详解】由已知函数，令，即，即，即，解得或，当时，或或；当时，即，解得，又由，解得或或或，所以函数的所有零点之和为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能
9、力.12.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值为()A. 2，B. 2，C. ，D. ，【答案】A【解析】试题分析：依题意，,所以，因为,所以，所以，选A.考点：三角函数的图像与性质点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力二填空题13.设向量，若，则_.【答案】15【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得，再根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，又由，因为，可得，解的.故答案为
10、：.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量的共线条件的坐标表示，着重考查运算与求解能力，属于基础题.14.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】求出，不等式在上恒成立，只需，即可求实数m的取值范围.【详解】，.不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角函数的最值求参数，属于中档题.15.设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_.【答案】【解析】【详解】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，即，所以，解得，故答案为.考点：函数的
11、对称性、周期性，属于中档题.16.已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数.若，则函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】根据的单调性，通过和分别求解的表达式，然后根据表达式可得的值域.【详解】，在上单调递增，在上单调递减，其中 .当时，单调递增，最大值为2，当时，单调递减，最小值为，此时；，即可得函数的值域为1,2 ；当时，单调递减，最大值为，当时，单调递减，最小值为，此时；，即可得函数的值域为；综上可得函数的值域为，故答案为: .【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，整体换元意识是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三解答题17.某同学用“五点法”画函数在某一个周
12、期内图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象若图象的一个对称中心为，求的最小值【答案】（）；（）【解析】（）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：00500且函数表达式为（）由（）知，得因为的对称中心为，令，解得，由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，由可知，当时，取得最小值考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质18.（1）已知，求的值（2）在三角形中，点是上一点，且，是的中点，与的交点为，又，求实数的值【答案】（1）
13、；（2）.【解析】【分析】（1）由即可求值；（2）由可得，即为的一个三等分点（靠近点）. 设，则，又，由不共线，可得，即求实数的值【详解】（1），.（2）如图所示，即，即为的一个三等分点（靠近点）.又、三点共线，且是的中点，.设，则，又.不共线，解得，.【点睛】本题考查三角函数式求值，考查平面向量基本定理，属于中档题.19.已知向量，（是常数），且.（1）若是奇函数，求的值；（2）设函数，讨论当实数变化时，函数的零点个数【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标定义，结合奇函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）的结论得到函数的解析式，结合零点定义、一元二次方程
14、根的判别式进行求解即可.【详解】解：（1）由题意知，因此当且时，有.由题设，对任意的不为零的实数，都有，即恒成立，所以；（2）由（1）知，则，所以当时，即当或时，函数有两个零点；当时，即当时，函数有一个零点；当时，即当时，函数没有零点因此有当或时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数没有零点【点睛】本题考查了已知函数是奇函数求参数取值问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了判断函数零点个数问题，考查了数学运算能力.20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，.（1）若，且，求向量的坐标.（2）若，求的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据向量共线定理
15、和模长计算公式，即可得出（2）将代入，结合二次函数求出最值【详解】解：（1），又， 又 由得，当时，（舍去）当时， （2）由（1）可知当时，【点睛】对于型求最值问题，可令，转化为二次函数来求最值21.已知a0，函数f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，当x0，时，-5f（x）1（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lgg（x）0，求g（x）的单调区间【答案】(1) ；(2) .【解析】【详解】（1），又，.（2）由（1）得：，又由，得，其中，当时，单调递增，即，的单调递增区间为.22.已知圆C：（xa）2+（yb）2=1（a0）关于直线3x2y=0对称，且与直线3x4y+
16、1=0相切（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（x2）2+（y3）2=1（2）不存在直线l【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得=（2k+4）216（1+k2）0，由数量积的计算公式可得=（1+k2）+4=6，解可得k的值，验证是否满足0，即可得答案【详解】（1）根据题意，圆C：（xa）2+（yb）2=1（a0）关于直线3x2y=0对称，即圆心（a，b）在直线3x2y=0上，圆C与直线3x4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，则有，解得或（舍）圆C的方程为（x2）2+（y3）2=1（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），由得（1+k2）x2（2k+4）x+4=0，由=（2k+4）216（1+k2）0得，且，=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）+4=6，解得k=1或，不满足0，所以不存在直线l，使得=6【点睛】本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆C关于直线3x2y=0对称，则圆心在直线上
