1、课时跟踪检测（五） 用空间向量研究直线、平面的位置关系A级基础巩固1已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3B6C9D9解析：选Cl，v与平面平行，uv，即uv0，13(3)(2)z10，z9.2已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1)B.C.D.解析：选B若点P在平面内，则PA，即n0.对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，故B正确；同理可排除C、D.3已知a为直线l的方向向量，
2、为平面内两共点向量，则下列说法正确的是()A若a，则lB若ak (kR)，则lC若ap (p，R)，则lD以上均不一定推出l解析：选D选项A、B、C都能推出l或l，但不能确定一定是l.4.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论：平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)；平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)；平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)其中正确结论的个数为()A1B2C3D4解析：选B(0,1,0)，ABAD，AA1AD，又ABAA1A，AD平面ABB1A1，正确；(1,0,0)，
3、而(1,1,1)10，(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，不正确；(0,1，1)，(1,0,1)，(1,1,1)0，(1,1,1)0，B1CCD1C，(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，正确；(0,1,1)，而(0,1,1)20，(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即不正确因此正确结论的个数为2，选B.5已知平面的一个法向量为(1，2,2)，平面的一个法向量为(2,4，k)，若，则实数k的值为()A5B4C4D5解析：选C若，则向量(1，2,2)与向量(2,4，k)共线，存在实数使(2,4，k)(1，2,2)，2，k4，故选C.6设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方
4、向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m_.解析：l1l2，ab，ab262m0，得m2.答案：27已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确，(2,3,4)，0，故错误答案：8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则_.解析：，0，352z0，z4.(x1，y，3)，且平面ABC，即解得故.答案：9.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的
5、截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1平面ABC，ABACAA14，求证：B1O平面AEO.证明：由题意可知AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，E(0,4,2)，O(2,2,0)，B1(4,0,4)，(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)设平面AEO的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得平面AEO的一个法向量为n(1，1,2)(2,2，4)2n，n，B1O
6、平面AEO.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有即取z11，则n1(1,1，1)(1,
7、0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有即取z21，则n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.B级综合运用11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A平行B相交C异面垂直D异面不垂直解析：选C建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直12已知O为坐标原点，四面体
8、OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线ADBC，并且AD交坐标平面xOz于点D，则点D的坐标为_解析：D平面xOz，设D(x,0，z)，则(x，3，z5)，易知(1,3,0)直线ADBC，存在R，使(x，3，z5)(1,3,0)，即点D的坐标为(1,0,5)答案：(1,0,5)13.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0z3a)，则，
9、(a,0，z3a)，.又a2a200，故由题意得0,2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别为A1C1和BC的中点求证：(1)平面ABE平面B1BCC1；(2)C1F平面ABE.证明：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设BCa，ABb，BB1c，则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E.(1)(0，b,0)，.设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x2，则y0，z，即n.又平面B1BCC1的
10、一个法向量为n1(0,1,0)n1n200100，平面ABE平面B1BCC1.(2)，且n0，平面ABE.又C1F平面ABE，C1F平面ABE.C级拓展探究15.如图所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，求证：FG平面BOE；(2)求证：在ABO内存在一点M，使得FM平面BOE.并求出点M到OA，OB的距离证明：(1)如图所示，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，8，0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意得G(0,4,0)，(8,0,0)，(0，4,3)，可求得平面BOE的一个法向量为n(0,3,4)(4,4，3)，n0.又直线FG不在平面BOE内FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)FM平面BOE，n，x04，y0，即点M的坐标为.在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域满足不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组在ABO内存在一点M，使得FM平面BOE.由点M的坐标可求得点M到OA，OB的距离分别为4，.
