1、5.3.2极大值与极小值基础过关练题组一函数极值的概念及其求解1.已知函数f(x)的导函数为f(x),则“f(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.(2020江苏镇江吕叔湘中学高二下期中)函数f(x)=ln x-x的极大值点为()A.1B.-1C.eD.1-e3.(2020江苏无锡高二下期中)已知函数f(x)=-x+2sin x,x0,2,则下列叙述正确的是()A.函数f(x)有极大值1-3B.函数f(x)有极小值1-3C.函数f(x)有极大值3-3D.函数f(x)有极小值3-34.(多选)(20
2、20江苏无锡太湖高级中学高二下月考)如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下述结论正确的有()A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增B.当x=-12时,函数y=f(x)有极大值C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增D.当x=2时,函数y=f(x)取得极大值5.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=2xx2+1-2;(3)f(x)=x2-2ln x.题组二含参函数的极值问题6.(2020江苏徐州高二下期中)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.57.(2020江苏苏州四中高二下期中)
3、函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点,则a的取值范围为()A.0,12B.0,32C.(0,1)D.(-1,0)8.(2019江苏如皋高二下检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+1在x=1处取得极大值4,则2a+b=.9.(2020甘肃酒泉高二期末)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,求a,b,c的值,并求出相应的极值.题组三函数极值的综合应用10.(2021四川成都七中高三上月考)“a2”是“函数f(x)=(x-a)ex在(0,+)上有极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件11.(20
4、21江苏常州华罗庚中学高三上阶段测试)若m0,n0,且函数f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=1处取得极值,则mn的最大值为()A.16B.25C.36D.4912.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)ex,若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为3e,则f(x)的极大值是()A.4e-2B.4e2C.e-2D.e213.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 f(1)f(0)=.14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=x0处取得极小值-5,其导函数f(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值;(2)求x
5、0及函数f(x)的表达式.15.(2020江苏常熟高二下期中)已知函数f(x)=ax+bxln x, f(x)的图象在x=e处的切线方程是x+y-e=0,其中e是自然对数的底数.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.能力提升练题组一函数极值的求解及其应用1.(多选)(2020江苏扬州中学高二下期中,)定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则以下结论正确的是()A.-3是y=f(
6、x)的极小值点B.-2和-1都是y=f(x)的极大值点C.y=f(x)的单调递增区间是(-3,+)D.y=f(x)的单调递减区间是(-,-3)2.(2020江苏徐州丰县中学高二下期中,)函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.43.(2021湖北六校高三上10月联考,)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点(1,0),则()A.f(x)的极大值为427,极小值为0B.f(x)的极大值为0,极小值为-427C.f(x)的极小值为-527,极大值为0D.f(x)的极小值
7、为0,极大值为5274.(2020江苏盐城安丰中学高二下月考,)已知函数f(x)=sin x+ln x-1.(1)求f(x)的图象在点2,f2处的切线方程;(2)求证:f(x)在(0,)上存在唯一的极大值.题组二含参函数的极值问题5.(2020江苏常州教育学会高二下期末,)已知函数f(x)=ax3+3x+1的极大值与极小值的差为4,则实数a的值为()A.-1B.-14C.14D.16.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=x2-(3m+1)x+3,x0,mx2+xlnx,x0恰有三个极值点,则m的取值范围是()A.-12,-13B.-12,0C.-1,-13D.-1,-127.(202
8、0河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=ax+x2的极值点,则实数a的值为.8.(2020江苏常熟中学高二下六月质检,)已知函数f(x)=13x3-12ax2+(x-a)cos x-sin x(aR).(1)求证:当x0时,xsin x;(2)当a0时,讨论函数f(x)的单调性,并判断f(x)有无极值,若有极值,求出极值.9.(2020江苏镇江中学高二下期中,)设函数f(x)=exax2-(4a+1)x+4a+3.(1)a0时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.题组三函数极值的综合应用10.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中,)
9、已知等差数列an,若a2、a4 038是函数f(x)=13x3-x2+mx+1的极值点,则a2 020的值为()A.1B.-1C.1D.011.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-,0)(0,+)上的奇函数,当x0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是()A.(-e,e)B.-e,eC.(-1,1)D.-1,112.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是()A.0x01e C.f(x0)+2x0013.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(aR)
10、,则下列说法正确的是()A.若a0,则函数f(x)没有极值B.若a0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是-,1eD.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-,01e14.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x, f(x)为f(x)的导函数.求证:(1)f(x)在(0,)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.15.(2020江苏宿豫中学高二月考,)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a2-1)x.(1)若f(x)在x=1处取得极小值,求实数a的值;(2)设x1,x2是g(x)=f(x
11、)-6ax2-3a2x+5a(a0)的两个极值点,若g(x1)+g(x2)0,求实数a的取值范围.答案全解全析基础过关练1.B由极值点的概念可以得出,若可导函数f(x)的极值点为x0,则f(x0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.2.A因为f(x)=ln x-x(x0),所以f (x)=1x-1=1-xx(x0).当x1时,f (x)0,函数f(x)单调递减;当0x0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极大值,即函数f(x)=ln x-x的极大值点为1,故选A.3.C因为f(x)=-x+2sin x,x0,2,所以f (x)=-1+2cos x,x0,2,令f (x)=0,
12、则cos x=12,可得x=3.当x0,3时,f (x)0,函数f(x)单调递增;当x3,2时,f (x)0,函数f(x)单调递减,所以当x=3时,函数f(x)取得极大值,极大值为f3=-3+2sin3=3-3,函数f(x)无极小值.故选C.4.CD当x-2时,导函数值小于0,函数f(x)是减函数;当-2x2时,导函数值大于0,函数f(x)是增函数;当2x4时,导函数值大于0,函数f(x)是增函数,所以当x=-2时,函数f(x)取得极小值;当x=2时,函数f(x)取得极大值;当x=4时,函数f(x)取得极小值.结合选项易知A、B错误,C、D正确,故选CD.5.解析(1)由题意得,f (x)=3
13、x2-6x-9,令f (x)=0,即3x2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)f (x)+0-0+f(x)极大值极小值当x=-1时,函数f(x)取得极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)取得极小值,且f(3)=-22.(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f (x)=2(x2+1)-4x2(x2+1)2=-2(x-1)(x+1)(x2+1)2.令f (x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f (x)-
14、0+0-f(x)极小值极大值当x=-1时,函数取得极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数取得极大值,且极大值为f(1)=-1.(3)由题意得,f (x)=2x-2x,且函数f(x)的定义域为(0,+),令f (x)=0,得x=1或x=-1(舍去),当x(0,1)时,f (x)0,当x=1时,函数取得极小值,且极小值为f(1)=1,无极大值.6. D易得f (x)=3x2+2ax+3,又f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,所以f (-3)=27-6a+3=0,解得a=5.故选D.7.A易得f(x)的定义域为(-1,+),f (x)=2x+a1+x=2x2+2x+a
15、x+1,函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点,2x2+2x+a=0在(-1,+)上有两个不等的实根,2-2+a0,=4-8a0,-12-1,解得0a0,得0x1,令f (x)0,得x1.所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.所以f(x)在x=1处取得极大值,满足题意,所以2a+b=-3.9.解析由题意得f(x)=3ax2+2bx+c.f(x)在x=1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(1)=-1,3a-2b+c=0,3a+2b+c=0,a+b+c=-1,a=12,b=0,c=-32,f(x)=12x3
16、-32x,f(x)=32x2-32=32(x+1)(x-1),在(-,-1),(1,+)上, f(x)0,函数为增函数;在(-1,1)上, f(x)0,函数为减函数,当x=-1时, f(x)有极大值,极大值为f(-1)=1;当x=1时, f(x)有极小值,极小值为f(1)=-1.10.A由f(x)=(x-a)ex,可得f (x)=(x-a+1)ex,令f (x)=0,可得x=a-1.当xa-1时,f (x)a-1时,f (x)0.所以函数f(x)在x=a-1处取得极小值.若函数f(x)在(0,+)上有极值,则a-10,即a1.因此,“a2”是“函数f(x)=(x-a)ex在(0,+)上有极值”
17、的充分不必要条件.故选A.11.C因为f(x)=8x3-mx2-2nx+3,所以f (x)=24x2-2mx-2n,又函数f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=1处取得极值,所以f (1)=24-2m-2n=0,即m+n=12,因为m0,n0,所以mnm+n22=36,当且仅当m=n=6时,等号成立.故选C.12.A因为函数f(x)=(x2-m)ex,所以f (x)=ex(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为3e,得f (1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.故f (x)=ex(x2+2x)=ex(x+2)x,因为ex0,所以函数f(x)在(-,
18、-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e-2.故选A.13.答案1解析由题意得,m0,且f(x)=3mx2+2nx+p,由题图可知,x=2是函数f(x)的极大值点,x=-1是其极小值点,即2,-1是f(x)=0的两个根,由f(-1)=3m-2n+p=0,f(2)=12m+4n+p=0,解得p=-6m,2n=-3m,f(0)=p=-6m, f(1)=p=-6m,f(1)f(0)=1.14.解析(1)由题意可得f(x)=3x2+2ax+b.f(x)的图象过点(0,0),(2,0),b=0,12+4a+b=0,解得a=-3,b=0
19、.(2)由(1)知f(x)=3x2-6x,令f(x)0,得x2或x0,令f(x)0,得0x0),由f(x)的图象在x=e处的切线方程是x+y-e=0,知切点为(e,0),切线的斜率为-1,所以f(e)=(a+b)e=0,f (e)=a+2b=-1,解得a=1,b=-1.(2)由(1)知f(x)=x-xln x(x0),则f (x)=-ln x(x0),令f (x)=0,得x=1,当x变化时, f(x),f (x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)f (x)+0-f(x)极大值由表可知,当x=1时,f(x)取得极大值,极大值为f(1)=1,无极小值.16.解析(1)由题意得, f(x)=
20、6x2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f(1)=6+6a+3b=0,f(2)=24+12a+3b=0,解得a=-3,b=4,经检验符合题意.(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,f(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),令f(x)=0,得x=1或x=2,当x2 时,f(x)0,f(x)单调递增,当1x2时,f(x)0,f(2)=4+c0, 解得-5c-4.能力提升练1.ACD由题图可知,当x-3时,f (x)0,当x(-3,+)时,f (x)0,-3是函数y=f(x)的极小值点,此函数无极大值点,且其单调递增区间是(-3,+),单调
21、递减区间是(-,-3).故选ACD.2.A设函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4.由题图知,当ax0,当x1xx2时,f(x)0,所以x1是f(x)的极大值点;同理,x2是f(x)的极小值点,x4是f(x)的极大值点.又当x2x0,当x3x0,所以x3不是f(x)的极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.3.A由题意得f (x)=3x2-2px-q,因为函数f(x)的图象与x轴相切于点(1,0),所以f (1)=3-2p-q=0,且f(1)=1-p-q=0,联立3-2p-q=0,1-p-q=0,解得p=2,q=-1,即f(x)=x3-2x2
22、+x,f (x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),当x-,13时,f (x)0,函数f(x)单调递增,当x13,1时,f (x)0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极大值为f13=427,极小值为f(1)=0,故选A.4.解析(1)由f(x)=sin x+ln x-1可得f (x)=cos x+1x,f2=1+ln2-1=ln2,f 2=cos2+2=2,所以f(x)的图象在点2,f2处的切线方程为y-ln2=2x-2,即y=2x+ln2-1.(2)证明:f (x)=cos x+1x,设g(x)=f (x)=cos x+1x,x(0,),则g(x)=-sin x-1x20,f
23、 ()=-1+10,f(x)单调递增;当x(x0,)时,f (x)0,f(x)单调递减,所以f(x)在(0,)上存在唯一的极大值.方法技巧要证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一的极值,只需证明其导函数f (x)在区间(a,b)上单调,且f (x)=0恰有一个实数解.5.Af(x)=ax3+3x+1,f (x)=3ax2+3,f(x)有极值,a0,令f (x)=0,解得x=-1a,当x-1a时,f (x)0,当-1ax0,所以当x=-1a时,f(x)取得极小值,当x=-1a时,f(x)取得极大值.又极大值与极小值的差为4,f-1a-f-1a=a-1a-1a+3-1a-a-1a-1a-3-1
24、a=4,解得a=-1,经检验符合题意,故选A.6.A由题可知f (x)=2x-(3m+1),x0,2mx+lnx+1,x0,当x0时,令f (x)=0,得-2m=lnx+1x,令g(x)=lnx+1x(x0),则g(x)=-lnxx2(x0),则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,g(x)的大致图象如图所示,所以当0-2m1,即-12m0时,f (x)=0有两个不同的实数根,此时f(x)有两个极值点;当x0时,令f (x)=0,得x=3m+12,若此时f(x)有一个极值点,则需满足3m+120,解得m-13.综上,m-12,-13.7.答案2解析由f(x)=ax+x2,
25、得f (x)=-ax2+2x.因为x=1是f(x)的极值点,所以f (1)=0,即-a+2=0,所以a=2,此时f (x)=2(x3-1)x2.当x1时,f (x)1时,f (x)0.因此x=1是f(x)的极小值点,即a=2符合题意.易错警示已知极值点求参数的值,先计算f (x),令f (x)=0,求得x的值,再验证此极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.8.解析(1)证明:令g(x)=x-sin x,则g(x)=1-cos x0,所以g(x)在R上单调递增,所以当x0时,g(x)g(0)=0,即x-sin x0,所以当x0时,xsin x.(2)由题意得f
26、 (x)=x2-ax+cos x-(x-a)sin x-cos x=(x-a)(x-sin x),xR,由(1)可得g(x)在R上单调递增,所以当x0时,g(x)g(0)=0,即x-sin x0时,g(x)g(0)=0,即x-sin x0,令f (x)=0,得x1=a,x2=0,当a=0时,f (x)=x(x-sin x)0恒成立,所以f(x)在R上单调递增,函数f(x)无极值;当a0时,令f (x)0,可得xa;令f (x)0,可得0x0时,函数f(x)在(-,0),(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,f(x)有极值,且极大值为f(0)=-a,极小值为f(a)=-16a3-sin
27、a.9.解析(1)因为f(x)=exax2-(4a+1)x+4a+3,所以f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.当a12时,令f (x)0,得x2;当0a0,得x1a;当a=12时,f (x)0恒成立.综上,当a12时,f(x)的单调递增区间是-,1a,(2,+);当0a12时,f(x)在x=2处取得极小值;当00,得x2,令f (x)2,此时x=2是f(x)的极大值点;当a0,得1ax2,令f (x)0,得x2,此时x=2是f(x)的极大值点.综上可知,a的取值范围是12,+.10.A因为f(x)=13x3-x2+mx+1,所以f (x)=x2-2x+m,由
28、题意及一元二次方程根与系数的关系得a2+a4 038=2,又因为在等差数列an中,a2 020=12(a2+a4 038),所以a2 020=1.故选A.11.A当x0时, f(x)=ln x+1-2ex,令h(x)=f(x),则h(x)=1x+2ex20,故f(x)在(0,+)上单调递增,因为f(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增.函数f(x)的大致图象如图所示.由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与函数f(x)的图象有四个不同的交点,故m(-e,e),故选A.解题模板利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是求导、求驻点(令导数为0时
29、方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.12.ADf(x)=xln x+x2(x0),f(x)=ln x+1+2x(x0),易得f(x)=ln x+1+2x在(0,+)上单调递增,且f1e=2e0,当x0时, f(x)-,0x01e ,A正确,B错误.f(x0)=ln x0+1+2x0=0,f(x0)+2x0=x0ln x0+x02+2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0),由0x00,C错误,D正确.故选AD.13.ABD由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=a-1x=ax-1x,当a0时, f(x)0时,在0,
30、1a上有f(x)0, f(x)单调递增,当x=1a时, f(x)取得极小值,极小值为f1a=1+ln a,当x0时,ln x-, f(x)+,当x+时, f(x)+,当1+ln a=0,即a=1e时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a0,即0a1e时, f(x)有且仅有两个零点.综上可知ABD正确,C错误.故选ABD.14.证明(1)设g(x)=f(x)=1x-1+2cos x,当x(0,)时,g(x)=-2sin x-1x20,g2=2-10,f(x)在(0,)上单调递增;当x(,)时, f(x)0, f(x)在(,)上单调递减,所以f(x)在(0,)上存在唯一的极大值点3f2=ln
31、2-2+22-20,又因为f1e2=-2-1e2+2sin 1e2-2-1e2+20,所以f(x)在(0,)上恰有一个零点,又因为f()=ln -2-0,所以f(x)在(,)上也恰有一个零点.当x,2)时,sin x0, f(x)ln x-x,设h(x)=ln x-x,x,2),则h(x)=1x-10,所以h(x)在,2)上单调递减,所以h(x)h()0,所以当x,2)时, f(x)h(x)h()0恒成立,所以f(x)在,2)上没有零点.当x2,+)时, f(x)ln x-x+2,设(x)=ln x-x+2,x2,+),则(x)=1x-10,所以(x)在2,+)上单调递减,所以(x)(2)0,
32、所以当x2,+)时, f(x)(x)(2)0恒成立,所以f(x)在2,+)上没有零点.综上, f(x)有且仅有两个零点.15.解析(1)f(x)=x3+3ax2+3(a2-1)x,f(x)=3x2+6ax+3(a2-1),由题意得f(1)=0,即3+6a+3(a2-1)=0,解得a=0或a=-2.当a=0时, f(x)=3x2-3,当x1时, f(x)0;当-1x1时, f(x)0,所以f(x)在x=1处取得极小值,满足题意.当a=-2时, f(x)=3x2-12x+9,当x3时, f(x)0;当1x3时, f(x)0),所以g(x)=3x2-6ax-3,因为=36a2+360恒成立,所以g(x)恒有两个极值点.由题意可知x1,x2是3x2-6ax-3=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-1.由g(x1)+g(x2)0,得x13+x23-3a(x12+x22)-3(x1+x2)+10a0,即(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2-3a(x1+x2)2-2x1x2-3(x1+x2)+10a0,将x1+x2=2a,x1x2=-1代入整理得a3-a0,因为a0,所以a-10,解得a1.所以a的取值范围为1,+).
