1、第二章函数与导数第3课时函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)1112页)考情分析考点新知 函数单调性的概念是函数性质中最重要的概念，仍将会是2015年高考的重点，特别要注意函数单调性的应用. 常见题型有：a. 求函数的单调区间；b. 用定义判断函数在所给区间上的单调性；c. 强化应用单调性解题的意识，如比较式子大小，求函数最值，已知函数的单调性求参数的取值范围等 理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值 能利用函数的单调性解决其他一些综合问题.1. (必修1P54测试4)已
2、知函数yf(x)的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是_答案：3，1和1，22. (必修1P44习题2改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调增函数的是_(填序号) y13x； y； yx21； y|x1|.答案：3. (必修1P44习题4改编)函数yf(x)是定义在2，2上的单调减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_答案：1，1)解析：由条件解得1a1.4. (必修1P44习题3改编)函数y(x3)|x|的单调递减区间是_答案：解析：y(x3)|x|画图可知单调递减区间是.5. (必修1P54测试6改编)已知函数f(x)mx2xm2在(，2)上是增函数，则实数m的取值范围
3、是_答案：解析：当m0时，f(x)x2，符合；当m0时，必须解得m0.综上，实数m的取值范围是m0.1. 增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数(如图(1)所示)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)3.
4、判断函数单调性的方法(1) 定义法：利用定义严格判断(2) 利用函数的运算性质如若f(x)、g(x)为增函数，则： f(x)g(x)为增函数； 为减函数(f(x)0)； 为增函数(f(x)0)； f(x)g(x)为增函数(f(x)0，g(x)0)； f(x)为减函数(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数(4) 图象法奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性备课札记题型1函数单调性的判断例1 判断函数f(x)ex在区间(0
5、，)上的单调性解：(解法1)设0x1x2，则f(x1)f(x2). 0x1x2， x1x20，x1x20， ex1x21，ex1x21，ex10， f(x1)f(x2) f(x)在(0，)上是增函数(解法2)对f(x)ex求导，得f(x)ex(e2x1)，当x0时，ex0，e2x1， f(x)0, f(x)在(0，)上为增函数证明函数f(x)在区间1，)上是减函数证明：设x1、x21，)，且x1x2.f(x1)f(x2). x1、x21，)，且x1x2， x1x20，1x1x20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在1，)上为减函数题型2已知函数的单调性求参数的值或范围
6、例2已知函数f(x)lg(kR，且k0)(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 若函数f(x)在10，)上单调递增，求k的取值范围解：(1) 由0，k0，得0，当0k1时，得x；当k1时，得xR且x1；当k1时，得x1.综上，当0k0， k.又f(x)lglg，由题意，对任意的x1、x2，当10x1x2，有f(x1)f(x2)，即lglg，得(k1)()0. x1， k10，即k1.综上可知，k的取值范围是.已知函数f(x)2x，x(0，1(1) 当a1时，求函数yf(x)的值域；(2) 若函数yf(x)在x(0，1上是减函数，求实数a的取值范围解：(1) 当a1时，f(x)2x，因为0x1，
7、所以f(x)2x22，当且仅当x时，等号成立，所以函数yf(x)的值域是2，)(2) (解法1)设0x10恒成立，所以2x1x2a0，即a0，即a1时，f(x)在1，4上为减函数， fmax(x)f(1)，fmin(x)f(4)；若1a1时，f(x)在1，4上为增函数， fmax(x)f(4)，fmin(x)f(1).1. (2013南京期初)已知函数f(x)是R上的增函数，则实数k的取值范围是_答案：解析：由题意得解得k0，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_答案：解析：若a1，有a24，a1m，所以a2，m，此时g(x)是0，)上的减
8、函数，不符合；当0a1，有a14，a2m，所以a，m，此时g(x)，符合3. (2013安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间是(0，)内单调递增”的_条件答案：充要解析： 当a0时，f(x)|x|在区间(0，)内单调递增； 当a0时，结合函数f(x)|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合所以“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的充要条件4. 已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x0，都有f(f(x)lnx)1e，则f(1)_答案：e解析：f(x)lnx必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1e，与单调
9、函数矛盾所以可设f(x)lnxc，则f(x)lnxc.将c代入，得f(c)1e，即lncc1e. ylnxx是单调增函数，当ce时，lncc1e成立， f(x)lnxe.则f(1)e.1. 给定函数：yx，ylog(x1)，y|x1|，y2x1，其中在区间(0，1)上单调递减的函数是_(填序号)答案： 解析：是幂函数，其在(0，)上是增函数，不符合；中的函数是由函数ylogx向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，)上是减函数，故符合；中的函数图象是由函数yx1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知正确；中函数显然是增函数，故不符合2. 设a0且a1，则“函数f
10、(x)ax在R上是减函数 ”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的_条件答案：充分不必要解析：函数f(x)ax在R上是减函数等价于0a1，函数g(x)(2a)x3在R上是增函数等价于0a1或1a0，则f(x)ax21在0，)上单调增， f(x)(a21)eax在(，0)上单调增， 1a.同理，当a0且a1.当a1时，则t(x)ax2x的对称轴是x，只需t(2)4a20，即a，所以a1均成立；当0a1时，则t(x)ax2x的对称轴是x，需要无解所以，存在实数a1，满足条件1. 求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子集，常用方法有：定义法、图象法、导数法、复合函数法等2. 函数单调性的应用(1) 比较函数值的大小；(2) 解不等式；(3) 求函数的值域或最值等注意利用定义都是充要性命题，即若函数f(x)在区间D上递增(减)且f(x1)f(x2)x1x2)(x1、x2D)备课札记
