1、第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是() A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断2.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是()A.63 B.-6 3 C.63 D.333.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为()A.1 B.2 C.33 D.34.(2020山东聊城高二上期末)直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆x216+y2b2=1(b0)恒有两个公共点,则实数b的取值范围是.题组二直线与椭圆的相
2、交弦问题5.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是()A.23,53 B.43,73C.-23,13 D.-132,-1726.过原点的直线l与曲线C:x23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于6,则直线l的斜率k的可能取值是()A.33 B.-33 C.3 D.17.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OAOB等于()A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.138.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为.9.(2021江西南昌
3、二中高二上月考)在平面直角坐标系中,已知动点P到定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离之和为22.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若直线l:y=x+t与曲线C交于A、B两点,|AB|=423,求t的值.题组三直线与椭圆位置关系的综合运用10.设椭圆C:x29+y24=1的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为()A.13B.12C.33D.3211.(2020北京清华大学附中高二上期中)已知椭圆C:x216+y24=1的右顶点为A,上顶点为B.点E在椭圆C上,且不在直线AB上.(1)求椭圆C的离心率和直线AB的方程;(2)若以AE
4、为直径的圆经过点B,求点E的坐标.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题 1.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A.y=2x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+32.(2020浙江宁波九校高二上期末,)已知圆C:(x+3)2+y2=48和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程为;若直线l与M点的轨迹相交,且相交弦的中点为P(2,1),则直线l的方程是.3.(2021江苏南京金陵中学高二上月考,)阿基米德(公元前287年公元前
5、212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为23,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求OAB面积的最大值.题组二直线与椭圆位置关系的综合运用4.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为() A.0或1 B.2 C.1 D.05.(2021江西上饶高
6、二上月考,)已知椭圆C:x28+y26=1的左、右顶点分别为A、B,点P为椭圆C上不同于A,B的动点,若直线PA斜率的取值范围是1,2,则直线PB斜率的取值范围是()A.-2,-1 B.-32,-34 C.-1,-12 D.-34,-386.(2021江苏泰州中学高二上期初检测,)如图,椭圆C:x24+y2=1的右顶点为A,上顶点为B,动直线l交椭圆C于M、N两点,且始终满足OMON,作OHMN交MN于点H,则HAHB的取值范围是()A.3-23,3+23 B.45-455,45+455C.-65,145 D.-54,1547.(多选)()已知椭圆C:x24+y22=1的左,右焦点分别为F1,
7、F2,直线y=kx(k0)与C交于A,B两点,AEx轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是()A.四边形AF1BF2为平行四边形 B.F1PF2908.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作斜率为12的直线l与C交于A,B两点,若|OF1|=|OA|,则椭圆C的离心率为.9.(2020海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆x225+y29=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P的坐标为.10.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知椭圆C:x24+y23=1,F1,F2分别为椭圆的左,
8、右焦点,P为椭圆上任意一点.(1)若|PF1|-|PF2|=1,求PF1F2的面积;(2)是否存在直线l,使得当l经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B,点D与点B关于x轴对称,满足OBOD=-207?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.11.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22,点P(-2,1)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1(k0)对称的两点,求实数k的取值范围.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为22.(1
9、)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点.(i)求|AF2|BF2|的最小值;(ii)点Q是直线l上异于F2的点,且满足|QA|QB|=|F2A|F2B|,求证:点Q在一条定直线上.答案全解全析基础过关练1.A直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1得,0+141,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.2.C由y=kx+2,x23+y22=1,消去y,并整理得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知=(12k)2-46(2+3k2)=0,解得k=63,故选C.3.C因为椭圆的离心率为33,所以
10、ca=33,即c=33a,c2=13a2=a2-b2,所以b2=23a2.当x=b时,直线与椭圆的交点的纵坐标为y=kb,则交点为(b,kb),代入椭圆方程得b2a2+k2b2b2=1,即23+k2=1,所以k2=13,解得k=33,故选C.4.答案(2,4)解析直线y=kx+2恒过定点(0,2),要保证直线与椭圆有两个公共点,则定点需在椭圆内,所以016+4b20,所以b2,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以b|F1F2|=2,所以动点P的轨迹为椭圆,且长轴长2a=22,焦点坐标为(-1,0),(1,0),所以a=2,c=1,又因为a2=b2+c2,所以b2=1,所以C的方程为x22+y2=1.
11、(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+2y2-2=0,y=x+t,消去y,得3x2+4tx+2t2-2=0,所以x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-23,=16t2-12(2t2-2)=24-8t20,即t20,所以t=1.10.B依题意得,a2=9,b2=4,c2=5,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5.由x2+y2=5,x29+y24=1,得x2=95,y2=165,又点P在第一象限,P355,455,又F1(-5,0),kPF1=455-0355+5=12,故选B.11.解析(1)由题可得a=4,b=2,c=23,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心
12、率e=ca=32.直线AB的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.(2)设E(x0,y0),由题意可知ABBE,即kABkBE=-1,结合(1)得-12y0-2x0=-1,则2x0=y0-2,E是椭圆C上的点,x0216+y024=1.联立x0216+y024=1,2x0=y0-2,消去x0,整理得17y02-4y0-60=0,解得y0=2(舍去)或y0=-3017,则x0=-3217,所以E-3217,-3017.能力提升练1.ACD直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦
13、长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.2.答案x212+y23=1;x+2y-4=0解析由圆的方程可知,圆心C(-3,0),半径等于43,设点M的坐标为(x,y),BP的垂直平分线交CP于点M,|MB|=|MP|.又|MP|+|MC|=43,|MC|+|MB|=43|BC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且2a=43,即a=23,c=3,b=3,故M点的轨迹方程为x212+y23=1.设直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,AB的中点为(2,1),x1+x2=4,y1+y2=2,则x1212+y123=1,x2212+y22
14、3=1,作差得4(x1-x2)12=-2(y1-y2)3,y1-y2x1-x2=-12,故直线l的方程是y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.3.解析(1)依题意有ab=23,a=2c,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,所以椭圆C的标准方程是x24+y23=1.(2)由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1,由方程组x=my+1,x24+y23=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4,所以SOA
15、B=12|OP|y1-y2|=6m2+13m2+4,令t=m2+1(t1),则m2=t2-1,SOAB=6t3t2+1=63t+1t,因为y=3t+1t在1,+)上单调递增,所以当t=1,即m=0时,OAB面积取得最大值,为32.4.B因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n22,所以m2+n24,而m29+n24m24+n241,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1必有两个交点,故选B.5.D依题意得A(-22,0),B(22,0),设P(x0,y0),则x028+y026=1,从而y02=34(8-x02),又kPA=y0x0
16、+22,kPB=y0x0-22,因此kPAkPB =y0x0+22y0x0-22=y02x02-8,将式代入得kPAkPB =-34,则kPA=-341kPB,又1kPA2,所以1-341kPB2,故-34kPB-38,故选D.6.C直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b,与椭圆方程联立,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),得x1+x2=-8kb1+4k2,x1x2=4b2-41+4k2,因为OMON,所以OMON=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,代入整理得5b2=4k2+4,则|OH|2=|b|1
17、+k22=b21+k2=45,所以点H在圆O:x2+y2=45上运动,记线段AB的中点为D,直线AB与圆O:x2+y2=45相切,则HAHB=|HD|2-|AD|2=|HD|2-54,在RtAOB中,易知|OD|=12|AB|=52.所以|HD|52-255,52+255=510,9510,|HD|2-54-65,145,即HAHB-65,145.故选C.7.ABC由椭圆的对称性知,四边形AF1BF2是平行四边形,故A正确;a2=4,b2=2,c2=2,F1AF290,又F1PF2F1AF20,则A21+2k2,2k1+2k2,B-21+2k2,-2k1+2k2,E21+2k2,0,kBE=2
18、k1+2k221+2k2+21+2k2=12k,故C正确;取k=2,则A23,43,B-23,-43,E23,0,直线BE的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P149,89,AP=89,-49,AB=-43,-83,APAB=-3227+3227=0,PAB90错误.故选ABC.8.答案53解析如图所示,设右焦点为F2,则|OF1|=|OA|=|OF2|,AF1AF2,又tanAF1F2=12,|AF1|=455c,|AF2|=255c.因此,2a=|AF1|+|AF2|=655c,e=ca=53.9.答案-4,95解析设平行于直线4x-5y+40=0且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c
19、=0(c40).由9x2+25y2=225,4x-5y+c=0,得25x2+8cx+c2-225=0,令=(8c)2-425(c2-225)=0,得c2=625,解得c=25.结合图形(图略)可知c=25,此时,x2+8x+16=0x=-4.代入4x-5y+25=0得,y=95,P-4,95.10.解析(1)由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=1,得|PF1|=52,|PF2|=32,易求得|F1F2|=2.|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,PF2F1F2,SPF1F2=12|PF2|F1F2|=32.(2)存在.易知A(-2,0),故可设直线l的方程为y=k(x+
20、2),联立y=k(x+2),x24+y23=1,消去y,得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16k2-124k2+3,又x1=-2,x2=6-8k24k2+3,则B6-8k24k2+3,12k4k2+3,故D6-8k24k2+3,-12k4k2+3,OBOD=6-8k24k2+32-144k2(4k2+3)2=64k4-240k2+36(4k2+3)2=-207,即16k4-25k2+9=0,故(k2-1)(16k2-9)=0.k=1或k=34.存在满足条件的直线l,且直线l的方程为y=x+2或y=-x-2或y=34(x+2)
21、或y=-34(x+2).11.解析(1)e=ca=22, 即c2=12a2,b2=a2-c2=12a2,将P(-2,1)代入椭圆方程,得2a2+1b2=1,a2=4,b2=2,椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),y1y2,AB的中点为(x0,y0),易知直线y=kx+1(k0)恒过点(0,1),则x12+(y1-1)2=x22+(y2-1)2,点A,B在椭圆上,x12=4-2y12,x22=4-2y22,4-2y12+(y1-1)2=4-2y22+(y2-1)2,化简得y12-y22=-2(y1-y2),即y1+y2=-2,y0=y1+y22=-1.又
22、AB的中点在直线y=kx+1上,-1=kx0+1,解得x0=-2k.由x2+2y2=4,y=-1,可得x=2,0-2k2或-2-2k0,即k2.故k的取值范围是(-,-2)(2,+).12.解析(1)由题意得c=1.因为离心率为22,所以a=2,所以b=1.所以椭圆的方程是x22+y2=1.(2)(i)由(1)知F2(1,0),当直线l的斜率不存在时,不妨设A1,22,B1,-22,所以|AF2|BF2|=12. 当直线l的斜率存在时,直线l的方程可设为y=k(x-1).联立x22+y2=1,y=k(x-1),消去y,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.所以x1+x2=4k21
23、+2k2,x1x2=2k2-21+2k2. 所以|AF2|=(x1-1)2+y12=1+k2|x1-1|,|BF2|=(x2-1)2+y22=1+k2|x2-1|. 所以|AF2|BF2|=(1+k2)|x1x2-(x1+x2)+1|=(1+k2)2k2-21+2k2-4k21+2k2+1=1+k21+2k2 =121+11+2k2. 因为11+2k2(0,1,所以|AF2|BF2|的取值范围是12,1.因为当直线l的斜率不存在时,|AF2|BF2|=12,所以|AF2|BF2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l的斜率一定存在.因为点Q在直线l上,所以设点Q的坐标是(m,k(m-1). 因为|QA|QB|=|F2A|F2B|,所以点Q一定在BA的延长线上,所以m-x1m-x2=x1-11-x2,即(m+1)(x1+x2)-2x1x2-2m=0.所以4k2(m+1)1+2k2-2(2k2-2)1+2k2-2m=0.化简得m=2.所以点Q的坐标是(2,k).因此点Q在定直线x=2上.
