1、-1-本章整合-2-本章整合 知识网络 专题探究 数列 定义:按照一定次序排列的一列数表示 图表:对应性强,直观图象:直观、形象通项公式:an=f(n),形式结构严谨、有利于相关计算或证明 分类(按变化趋势分类)递增数列:对任意N+,总有an+1 an递减数列:对任意N+,总有an+1 0).a1,a3,a9 成等比数列,32=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),得 d2=a1d.d0,a1=d.-6-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 S5=52,5a1+542 d=(a1+4d)2.由,得 a1=35,d=35.an=35+(n-1)35=35n.-7-本章
2、整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(三)Sn 法【应用 3】设数列an的前 n 项和为 Sn=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.求数列an和bn的通项公式.提示:本题已知 Sn 的表达式,自然想到使用公式 an=1,n=1,-1,n 2 求解.解:当 n=1 时,a1=S1=2;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当 n=1 时也适用,故an的通项公式为 an=4n-2.-8-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 设bn的公比为 q,则 b2(a2-a1)=b1qd=b1,又 d=4,q=14.又 a
3、1=b1=2,故 bn=b1qn-1=2 14-1,即bn的通项公式为 bn=24-1.-9-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(四)累加法【应用 4】已知在数列an中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,求数列an的通项公式.提示:由于本题给出了数列an中连续两项的差,故可考虑用累加法求解.解:由 an+1-an=3n-n,得 an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),-10-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当 n2 时,以上 n-1 个等式两端分别相加,得(an-an
4、-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,即 an-a1=3(1-3-1)1-3(-1)2.-11-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 又 a1=1,an=123n-(-1)2 12.显然 a1=1 也适合上式,an的通项公式为 an=123n-(-1)2 12.-12-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(五)迭乘法【应用 5】已知在数列an中,a1=13,前 n 项和 Sn 与 an 的关系是Sn=n(2n-1)an,求 an.提示:此题已知 Sn 与 an 的关系,应想到使用 Sn 法,然后得到相
5、邻两项比的等式满足 an=an-1f(n)这种模型,因此使用迭乘法求解.解:当 n2 时,由 Sn=n(2n-1)an,得Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1,两式相减,得(2n+1)an=(2n-3)an-1,-13-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 -1=2-32+1.-1-2=2-52-1,21=15.将上面 n-1 个等式相乘,得1=(2-3)(2-5)(2-7)31(2+1)(2-1)(2-3)75=3(2+1)(2-1),-14-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 当 n2 时,an=1(2+1)(2-1).当 n=1 时,a1=13满足上
6、式,故对 nN+,有 an=1(2+1)(2-1).-15-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(六)辅助数列法【应用 6】在数列an中,a1=1,an+1=12an+1,求数列an的通项公式.提示:对于 an+1=pan+q 这一类型的递推关系式,常用配常数法求通项公式.设 an+1+k=p(an+k),对比递推关系式,可得 k=-1,构造出等比数列an+k.-16-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 解:令 an+1+k=12(an+k),an+1=12an+1,对比可得 k=-2,an+1-2=12(an-2).an-2是首项为 a1-2=-1,公比为1
7、2的等比数列.an-2=-1 12-1=-12-1.an=-12-1+2.-17-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题二 数列求和的常用方法数列的求和问题是数列中的重要问题,需要掌握一些简单数列的求和方法,并应用数列求和解决一些数列问题,数列的求和常用的方法有:(1)公式法(即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解);(2)并项转化求和法;(3)倒序相加法;(4)错位相减法;(5)裂项相消法;(6)分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解).-18-本章整合 专题探究 知识网络 专题一
8、专题二 专题三(一)并项转化求和法【应用 1】求值:-12+22-32+42-52+62-992+1002.提示:可以两项并一项处理,然后转化为特殊数列求和.解:法一:原式=(22-12)+(42-32)+(1002-992)=3+7+199.由等差数列求和公式,得原式=50(3+199)2=5 050.法二:原式=(22-12)+(42-32)+(1002-992)=(2+1)+(4+3)+(100+99)=1+2+3+4+99+100=5 050.-19-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【互动探究】求数列 an=2+22+23+2n 的前 n 项和 Sn.解:先化简 a
9、n,即 an=2(1-2)1-2=2n+1-2.Sn=4(1-2)1-2-2n=2n+2-2n-4.-20-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(二)倒序相加法【应用 2】求值:1212+102+2222+92+3232+82+102102+12.提示:由于数列的第 k 项与倒数第 k 项的和为常数 1,故采用倒序相加法求和.解:设 S=1212+102+2222+92+3232+82+102102+12,则 S=102102+12+9292+22+8282+32+1212+102,两式相加,得 2S=1+1+1=10.S=5.-21-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题
10、二 专题三(三)分组转化法【应用 3】求数列 1+1,1+4,12+7,13+10,1-1+(3n-2),的前 n 项和.提示:本题通项公式为 an=1-1+(3n-2),是一个指数式和一个一次式的和组成的,可以选择拆项分组求和法.-22-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 解:设数列的通项为 an,前 n 项和为 Sn,则 an=1-1+(3n-2),Sn=1+1+12+1-1+1+4+7+(3n-2).当 a=1 时,Sn=n+(1+3-2)2=32+n2.当 a1 时,Sn=1-11-1+(1+3-2)2=-1-1+(3-1)2.-23-本章整合 专题探究 知识网络 专
11、题一 专题二 专题三(四)错位相减法【应用 4】已知数列an中,a1=1,an+1=+3(nN+).(1)求证:1+12 是等比数列,并求an的通项公式 an;(2)数列bn满足 bn=(3n-1)2an,数列bn的前 n 项和为 Tn,若不等式(-1)nTn+2-1对一切 nN+恒成立,求 的取值范围.提示:(1)运用取倒数配常数法(根据目标);(2)先利用错位相减法求 Tn,再利用分类讨论思想确定 的范围.-24-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 解:(1)由 an+1=+3,得 1+1=+3=1+3,即 1+1+12=3 1+12,又 11+12=32,1+12 是以
12、32为首项,3 为公比的等比数列,1+12=323n-1=32,即 an=23-1.-25-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三(2)bn=2-1,Tn=1 120+2 121+3 122+(n-1)12-2+n 12-1,2=1 121+2 122+(n-1)12-1+n 12,两式相减得2=120+121+122+12-1-n 12=2-+22,Tn=4-+22-1,(-1)n4-22-1.-26-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 若 n 为偶数,则 4-22-1,3;若 n 为奇数,则-4-22-1,-2.-2”或“”)提示:当一个问题因为某种量的情况
13、不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论.在本题中,由于等比数列的增减性与 a1,q 相关,所以应对 q 的取值进行讨论.-35-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 解析:因为 an=amqn-m,所以 qn-m=,q4=95=181,所以 q2=19.所以 q=13.当 q=-13时,显然数列为摆动数列,不合题意,舍去.当 q=13时,an=a1 13-1.因为 y=13 为减函数,所以当 a10 时,an 单调递增.答案:-36-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【互动探究】已知 Sn 是等比数列an的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,求 q3 的值.解:因为数列an是等比数列,故 a10,且 q0.又 S3,S9,S6 成等差数列,所以若 q=1,则有 3a1+6a1=29a1,上式显然不成立.所以 q1.-37-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 当 q1 时,由 S3,S9,S6 成等差数列,可得1(1-3)1-+1(1-6)1-=21(1-9)1-,整理,得 q3+q6=2q9.因为 q0 且 q1,所以 1+q3=2q6,解得 q3=-12.综上得,q3=-12.
