2015-2016学年高二数学人教B版选修2-2课件：2.pptx

1、-1-2.3 数学归纳法-2-2.3 数学归纳法 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.了解数学归纳法的原理;2.掌握数学归纳法的步骤;3.能够应用数学归纳法证明一些问题.-3-2.3 数学归纳法 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 数学归纳法一个与自然数相关的命题,如果(1)当 n 取第一个值 n0 时命题成立;(2)在假设当 n=k(kN+,且 kn0)时命题成立的前提下,推出当 n=k+1 时命题

2、也成立,那么可以断定,这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立.思考 1 在数学归纳法的第一步中,第一个值 n0 是否一定等于1?提示:不一定,n0 还可以取其他值,如证明“2nn2”中,n0=5,而证明“凸 n 边形内角和为(n-2)180”中,n0=3.思考 2 在数学归纳法的第二步中,所作的归纳假设是否一定要用上?提示:一定要用上归纳假设.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程,必须将归纳假设作为条件来导出“n=k+1”时的命题.也许有时不用归纳假设也能证得结论,但这不是用数学归纳法证明问题了.-4-2.3 数学归纳法 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 Z

3、HONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 点拨正确理解数学归纳法注意以下几点:(1)数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法,它是一种完全归纳法,是对不完全归纳法的完善.证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.(2)用数学归纳法证明问题的关键在第二步,即 n=k+1 时命题为什么成立?n=k+1 时命题成立是利用假设 n=k 时命题成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的,而不是直接代入,否则 n=k+1 时命题成立也成假设了,命题并没有得到证明.(3)证明 n=k+

4、1 时命题也成立,要注意明确证明的目标,根据这一个目标决定对归纳假设的合理变形及应用,必要时需进行适当的拼凑.(4)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.(5)数学归纳法是一种演绎推理.-5-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 利用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式时,要注意弄清楚等式两边的构成规律,例如:等式两边的项数是多少,项的多少与 n 的关系是什么,由 n=k 到 n

5、=k+1 时项数增加多少项,增加怎样的项等.-6-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五【典型例题 1】用数学归纳法证明:114+147+1710+1(3n-2)(3n+1)=n3n+1(nN+).-7-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 证明:(1)当 n=1 时,左边=114=14,右边=131+1=1

6、4,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当 n=k(k1,kN+)时等式成立,即114+147+1710+1(3k-2)(3k+1)=k3k+1,则当 n=k+1 时,114+147+1710+1(3k-2)(3k+1)+1(3k+1)(3k+4)=k3k+1+1(3k+1)(3k+4)=3k2+4k+1(3k+1)(3k+4)=(3k+1)(k+1)(3k+1)(3k+4)=k+13k+4=k+13(k+1)+1.所以当 n=k+1 时,等式也成立.由(1)(2)知等式对 nN+成立.-8-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知

7、识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式时,在利用了归纳假设后,要注意根据欲证目标,灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明.-9-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五【典型例题 2】用数学归纳法证明:1+1 2+1 3+1 n n(其中 nN+,n1).思路分析:按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明,在由n=k 证 n=k+1 成立时,可利用比较法或放

8、缩法证得结论.-10-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+1 2,右边=2,1+1 2 2=1-22 0,所以左边右边,即不等式成立.(2)假设当 n=k(k2,kN+)时,不等式成立,即1+1 2+1 3+1 k k,则当 n=k+1 时,1+1 2+1 3+1 k+1 k+1 k+1 k+1.-11-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 S

9、UITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五(方法 1)因为 k+1 k+1 k+1=k2+k+1-(k+1)k+1=k2+k-k k+1=k k+1(k2+k+k)0,所以 k+1 k+1 k+1,即 1+1 2+1 3+1 k+1 k+1 k+1.(方法 2)因为 k+1 k+1=k2+k+1 k+1 k2+1 k+1=k+1 k+1=k+1,所以 1+1 2+1 3+1 k+1 k+1 k+1.即当 n=k+1 时原不等式也成立,由(1)(2)知原不等式成立.-12-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHIS

10、HI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评本例中在应用归纳假设后,方法 1 是利用了比较法,方法 2 是利用了放缩法来进行后面的证明.-13-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 用数学归纳法证明整除问题与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明,证明的关键在于第二步中,根据归纳假设,将 n=k+1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来.-14-2.3 数学归纳法 ZHON

11、GDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五【典型例题 3】用数学归纳法证明:n3+(n+1)3+(n+2)3 能被 9 整除(nN+).思路分析:在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.-15-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 证明:(1)当 n=1 时,13+23+33=36 能被 9 整除,所以结论成立;(2)假设当 n=k(kN+,k

12、1)时结论成立,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除.则当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3-k3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+27k+27=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3).因为 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除,9(k2+3k+3)也能被 9 整除,所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 也能被 9 整除,即 n=k+1 时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切 nN+成立.-16-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点

13、首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 归纳猜想证明1.由已知条件首先计算数列an的前几项的值,根据前几项值的特点,猜想出数列an的通项公式或递推公式,利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法.2.在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时,要注意从归纳的过程中发现证明的方法.-17-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五【典型例题 4】某数列的第一项为 1,并且对

14、所有的自然数 n2,数列的前 n 项之积为 n2.(1)写出这个数列的前五项;(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.思路分析:根据数列前五项写出这个数列的通项公式,要注意观察数列中各项与其序号变化的关系,归纳出构成数列的规律.同时还要特别注意第一项与其他各项的差异,必要时可分段表示.证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.-18-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)已知 a1=1,由题意,得 a1a2=22,a2=22.a1a2a3=32

15、,a3=3222.同理,可得 a4=4232,a5=5242.因此该数列的前五项为 1,4,94,169,2516.-19-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五(2)观察这个数列的前五项,猜测数列的通项公式应为an=1,n=1,2(-1)2,n 2,n+.下面用数学归纳法证明当 n2,nN+时,an=n2(n-1)2.当 n=2 时,a2=22(2-1)2=22,猜想正确.假设当 n=k(k2,kN+)时,猜想正确,即 ak=k2(k-1)2.-20

16、-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 a1a2ak-1=(k-1)2,a1a2ak-1akak+1=(k+1)2,ak+1=(k+1)2(a1a2ak-1)ak=(k+1)2(k-1)2 (k-1)2k2=(k+1)2k2=(k+1)2(k+1)-12,当 n=k+1 时,猜想也正确.根据和,可知当 n2,nN+时,这个数列的通项公式是 an=n2(n-1)2.an=1,n=1,2(-1)2,n 2,n+.-21-2.3 数学归纳法 ZHONGDI

17、AN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 易错辨析易错点:因不运用归纳假设而出错【典型例题 5】用数学归纳法证明:124+146+168+12n(2n+2)=n4(n+1)(nN+).错证:(1)当 n=1 时,左边=124,右边=14(1+1)=142,等式成立.(2)假设当 n=k(k1,kN+)时等式成立,那么当 n=k+1 时,直接使用裂项相减法求得124+146+168+12k(2k+2)+1(2k+2)(2k+4)=12 12-14+14-16+12k-12k+2+12k+2

18、-12k+4 =12 12-12k+4=k+14(k+1)+1,即当 n=k+1 时等式成立.由(1)和(2),可知等式对一切 nN+都成立.-22-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错因分析:由 n=k 到 n=k+1 时等式的证明没有用归纳假设,而是运用了数列中的求和方法证得的,虽然结论正确,但没有运用数学归纳法证明,不符合题目要求.-23-2.3 数学归纳法 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知

19、识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 正确证法:(1)当 n=1 时,左边=124=18,右边=18,等式成立.(2)假设当 n=k(k1,kN+)时,124+146+168+12k(2k+2)=k4(k+1)成立.那么当 n=k+1 时,124+146+168+12k(2k+2)+1(2k+2)(2k+4)=k4(k+1)+14(k+1)(k+2)=k(k+2)+14(k+1)(k+2)=(k+1)24(k+1)(k+2)=k+14(k+2)=k+14(k+1)+1,当 n=k+1 时,等式成立.由(1)和(2),可知对一切 nN+等式都成立.-2

20、4-2.3 数学归纳法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 51.用数学归纳法证明 1+12+13+12n-11)时,第一步应验证不等式()A.1+122B.1+12+132C.1+12+133D.1+12+13+141,n 取的第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 122-1=13.答案:B-25-2.3 数学归纳法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 52.使|n2-5n+5|=1

21、不成立的最小的自然数是()A.2B.3C.4D.5解析:当 n=1,2,3,4 时经验证等式均成立,当 n=5 时不成立.答案:D-26-2.3 数学归纳法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 53.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+),从“n=k 到n=k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1解析:n=k 时,左边=(k+1)(k+2)(k+k),而 n=k+1 时,左边=(k+1)+1(k

22、+1)+2(k+1)+(k-1)(k+1)+k(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k+2)(k+k)(2k+1).答案:B-27-2.3 数学归纳法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 54.用数学归纳法证明 122+132+1(n+1)2 12 1n+2(nN+),假设当 n=k 时不等式成立,则当 n=k+1 时,应推证的目标不等式是 .答案:122+132+1(k+1)2+1(k+2)2 12 1k+3-28-2.3 数学归纳法

23、 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 55.用数学归纳法证明不等式2+12 4+14 2n+12n n+1.证明:当 n=1 时,左式=32,右式=2,左式右式,所以结论成立.假设 n=k(k1,kN+)时结论成立,即2+12 4+14 2k+12k k+1,则当 n=k+1 时,2+12 4+14 2k+12k 2k+32(k+1)k+1 2k+32(k+1)=2k+32 k+1,要证当 n=k+1 时结论成立,只需证 2k+32 k+1 k+2,-29-2.3 数学归纳法 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 5即证2k+32 (k+1)(k+2),由基本不等式2k+32=(k+1)+(k+2)2 (k+1)(k+2)成立,故 2k+32 k+1 k+2成立,所以,当 n=k+1 时,结论成立.由可知,nN+时,不等式2+12 4+14 2n+12n n+1成立.