1、(对应学生用书第60页)突破疑难点1构造函数证明不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)，ln (x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、
2、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解方法高考示例思维过程直接构造法(2018全国卷)已知函数f(x)xa ln x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10(函数在极值点处的导数为0)，所以x1x21.不妨设x1x2，则x21(注意原函数的定义域).由于1a2a2a，所以a
3、2等价于x22ln x20.【关键1：将所证不等式进行变形与化简】设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)单调递减，【关键2：直接构造函数，判断函数单调性】又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0，所以x22ln x20，即a2.【关键3：结合单调性得到函数最值，证明不等式】放缩构造法(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(2)证明：当a时，f(x)ln x1.【关键1：利用不等式性质放缩，将a代换掉】设g(x)ln x1，【关键2：利用不等式右边构造函数】则g(x
4、).当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点【关键3：利用导数研究函数的单调性、最值】故当x0时，g(x)g(1)0.【关键4：利用函数最值使放缩后的不等式得到证明】因此，当a时，f(x)0.构造双函数法(2014全国卷)设函数f(x)aex ln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(2)证明：由(1)知，f(x)ex ln xex1，从而f(x)1等价于x ln xxex.【关键1：将所证不等式等价转化，为构造双函数创造条件】设函数g(x)x ln x，则g(x)1ln x，所以当x(0
5、，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g().【关键2：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最小值】设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x).所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).【关键3：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最大值】因为g(x)ming()h(1)h(x)max，所以当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.【关键4：利用函数最值证明不等式】突破疑难点2
6、利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若af(x)对xD恒成立，则只需af(x)max；若af(x)对xD恒成立，则只需af(x)min.若存在x0D，使af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)成立，则只需af(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数方法高考示例思维过程结合导函数的零点分类讨论(2017全国卷)已知
7、函数f(x)x1a ln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，(1)(1)(1)m，求m的最小值(1)f(x)的定义域为(0，)(求函数定义域).若a0，因为f()a ln 20，所以不满足题意【关键1：利用原函数解析式的特点确定分类标准】若a0，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增【关键2：根据导函数的零点分类讨论】故xa是f(x)在(0，)上的唯一最小值点由于f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.结合导函数的零点分类讨论(2015全国卷)设函数f(
8、x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1，0上单调递减，在0，1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即【关键1：利用充要条件把不等式恒成立等价转化】设函数g(t)ette1，则g(t)et1.【关键2：直接构造函数，并求导】当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当
9、t1，1时，g(t)0.【关键3：根据导函数的零点分类讨论】故当m1，1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，由g(t)的单调性，知g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.【关键4：通过分类讨论得到参数的取值范围】综上，m的取值范围是1，1.由导函数的特点直接分类讨论(2014全国卷)函数f(x)ax33x23x(a0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30.【关键1：函数求导，根据导函数的特点确定分类标准】故当a0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当a0时，f(x)
10、在区间(1，2)是增函数，当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.【关键2：利用导数判断函数的单调性，结合需满足的条件，求解关于参数的不等式，得到参数的取值范围】综上，a的取值范围是，0)(0，).突破疑难点3两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)f(b)0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)f(b)0.方法高考示例思维过程直接法(2017全国
11、卷)已知函数f(x)ax2axx ln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.(2)证明：由(1)知f(x)x2xx ln x，f(x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x(0，)时，h(x)0；当x(，)时，h(x)0.所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增【关键1：构造函数，利用导数研究函数的单调性】又h(e2)0，h()0，h(1)0，所以h(x)在(0，)上有唯一零点x0，在，)上有唯一零点1，【关键2：利用零点存在性定理判断导函数零点的位置】且当x(0，x0)时，h(x)0；当x(x0，1
12、)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0).由x0(0，)得f(x0).【关键3：求二次函数值域得到f(x0)的范围】因为xx0是f(x)在(0，1)上的最大值点，由e1(0，1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2，所以e2f(x0)22.【关键4：利用函数最值证明不等式】分类讨论法(2015全国卷)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g
13、(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上无零点【关键1：对x的取值分类讨论，适当放缩，判断h(x)的符号，确定函数零点个数】当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，故x1不是h(x)的零点【关键2：当x的取值固定时，对参数a的取值分类讨论，确定函数值的符号得到零点个数】当x(0，1)时，g(x)ln x0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数()若a3或a
14、0，则f(x)3x2a在(0，1)上无零点，故f(x)在(0，1)上单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a0时， f(x)在(0，1)上没有零点()若3a0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，故在(0，1)上，当x时，f(x)取得最小值，最小值为f().若f()0，即a0，则f(x)在(0，1)上无零点；若f()0，即a，则f(x)在(0，1)上有唯一零点；若f()0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当3a时，f(x)在(0，1)上有一个零点【关键3：当x的取值固定在一个范围内时，对参
15、数a的取值分类讨论，利用函数单调性、最值、零点存在性定理得到零点个数】综上，当a或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点突破疑难点4两法破解由零点个数确定参数问题已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零
16、点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围方法高考示例思维过程由导数特点分类讨论(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)只有一个零点【关键1：构造函数h(x)，将f(x)的零点情况转化为h(x)的零点情况】()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点()当a0时，h(x)ax(x2)ex.【关键2：对参数a分类讨论，结合函数值判断函数零点情况】当x(0，2)时，h(x)0；当x(2，
17、)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值【关键3：分类讨论，利用导数研究函数单调性，求函数最值】若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一个零点由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2，4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点【关键4：对函数最小值的符号分类讨论，结合函数单调性判断零点情况，求出参数值】综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.直接分类讨论(
18、2017全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点【关键1：针对f(x)解析式的特点，可对参数a直接分类讨论】()若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.【关键2：结合函数单调性求函数最小值，进而根据最小值直接判断零点的情况】当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0，1)时，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点设正整数n0满足n0ln (1)，则f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于ln (1)ln a，因此f(x)在(ln a，)上有一个零点【关键3：对参数a分类讨论，结合函数单调性与最小值判断函数零点情况，求参数取值范围】综上，a的取值范围为(0，1).
