1、第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin2
2、2cos2112sin2.tan 2.3.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().常用结论与微点提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.
3、()(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，k(kZ).答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P217T3改编)已知cos ，则sin等于()A. B. C. D.解析，且cos ，sin ，sin.答案C3.(老教材必修4P131T4改编)已知tan2，则tan ()A. B. C. D.解析tan2，解得tan .答案A4.(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A. B. C. D.解析由题意得cos 212sin2121.答案B5.(2020揭阳一模)若sin，则sin4cos4的值为()A. B. C. D.解析sin
4、cos 2，sin4cos4sin2cos2cos 2.答案D6.(2019南昌一模)已知角的终边经过点P(sin 47，cos 47)，则sin(13)()A. B. C. D.解析由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47，则sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.答案A考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：_.解析原式cos 2x.答案cos 2x(2)化简：2cos().解原式.规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三
5、角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin()_.(2)化简：_.解析(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式tan(902).答案(1)sin()(2)考点二三角函数式的求值多维探究角度1给值求值【例21】 (1)已知x，tan x，则_.(2)(2020康杰中学联考)已知，tan tan 3，则cos()的值为()A. B.C. D.解析(1)由题意得，4sin x3cos x，又s
6、in2xcos2x1，且x，解得cos x，sin x，又2sin x2.(2)由tan tan 3，得3，即3.sin()3cos cos .又知，cos cos .而cos()cos cos sin sin ，sin sin .cos()cos cos sin sin .答案(1)(2)D规律方法给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.角度2给角求值【例22】 (1)()A.4 B.4 C.2 D.2(2)2sin 50sin 10(1tan 10)_.解析(1)4.(2)原式sin 80cos 102sin
7、50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.答案(1)B(2)规律方法给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.角度3给值求角【例23】 (1)已知coscos，则_.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)coscossincossin，即sin，又，则2，所以2，得.(2)tan tan()0，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)规律方法“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函
8、数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【训练2】 (1)(角度1)(2020普宁联考)已知tan2，则sin cos cos2_.(2)(角度2)cos2sin cos _.(3)(角度3)已知，为锐角，cos ，且sin()，则角_.解析(1)tan2，tan2，即tan2，cos2sin.，.又知cos2sin21，解得cos，sin.则sin cos cos2sin cos sin.(2)cos2sin cos s
9、in cossin .(3)为锐角，且cos ，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .答案(1)(2)(3)考点三三角恒等变换的应用【例3】 已知函数f(x)2sin x.(1)在ABC中，cos A，求f(A)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.解(1)由sin xcos x0得xk，kZ.因为f(x)2sin x2sin xcos xsin x，在ABC中，cos A0，所以A，所以sin A，所以f(A)sin Acos A.(2)由(1)可得f(x)sin，所以f(x)的最小正周期T2.因为函数ysi
10、n x的对称轴为xk，kZ，又由xk，kZ，得xk，kZ，所以f(x)的对称轴的方程为xk，kZ.规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2019合肥质检)将函数f(x)sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)f(x)g(x).(1)求函数h(x)的单调递增区间；(2)若g，求h()的值.解(1)由已知可得g(x)sin，则h(x)sin 2xsinsin 2xcos 2xs
11、in.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函数h(x)的单调递增区间为(kZ).(2)由g，得sinsin，sinsinsin，即h().A级基础巩固一、选择题1.(2020河南天一大联考)已知sin，则sin 4x的值为()A. B. C. D.解析因为sin(cos 2xsin 2x)，所以sin 2xcos 2x，所以(sin 2xcos 2x)212sin 2xcos 2x1sin 4x，所以sin 4x.故选A.答案A2.(2020重庆联考)()A.2 B. C. D.1解析原式1.答案D3.(2019吉安一模)若sin()，则()A. B. C. D.解析由sin()，得sin
12、 ，则sin .又，cos ，2sin cos .答案B4.(2020广东省际名校联考)若cos，则cos()A. B. C. D.解析cos，cossinsin，cos12sin2.答案D5.(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A. B. C. D.解析由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.又，所以2sin cos ，又sin2cos21，所以sin2，故sin .答案B二、填空题6.函数ysincos 2x的最大值为_.解析因为ysincos 2xcos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos，故最大值为.答案7.已知1
13、80360，化简：_.解析原式.因为180360，所以90180，所以cos 0，所以原式cos .答案cos 8.已知sin ，sin()，均为锐角，则_.解析因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.答案三、解答题9.(2020合肥质检)已知函数f(x)cos 2xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，f()，求cos 2.解(1)f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，函数f(x)的最小正周期T.(2)由f()，可得sin.，2.又0si
14、n，2.cos.cos 2coscoscos sinsin .10.已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值.解(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴.所以k(kZ)，解得k(kZ)，又01，所以，所以f(x)2sin.由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ).(
15、2)由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cos ，由g2cos2cos，得cos，又，故0，因为cos 2sin，所以(cos sin )(cos sin )(sin cos )，所以cos sin ，可得.将cos sin 两边平方可得12sin cos ，sin cos ，.分子、分母同除以cos2可得，解得tan 或(舍)，即tan .答案A13.已知cos ，cos()，且0，则_.解析由cos ，0，得sin ，由0，得0，又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin().答案14.已知函数f(x)cos(x)为奇函数，且f0，其中aR，
16、(0，).(1)求a，的值；(2)若，fcoscos 20，求cos sin 的值.解(1)因为f(x)cos(x)是奇函数，所以cos(x)cos，化简、整理得，cos xcos 0，则有cos 0，由(0，)，得，所以f(x)sin x.由f0，得(a1)0，即a1.(2)由(1)知f(x)sin 2x，fcoscos 20sincoscos 2，因为cos 2sinsin2sincos，所以sincos2sin.又，所以sin0或cos2.由sin0，所以cos sin cos sin ；由cos2，得cos(cos sin )cos sin .综上，cos sin 或cos sin .C级创新猜想15.(多选题)已知函数f(x)sin2sincos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是()A.f(x)在区间上单调递增B.f(x)图象的一个对称中心是C.f(x)图象的一条对称轴是xD.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称解析f(x)sin2sincoscos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，当k0时，故A正确；fsin 10，故B不正确；fsin 1，故C正确；将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数ysin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.答案AC
