1、2.5.2椭圆的几何性质学 习 任 务核 心 素 养1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形2根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形(重点、难点)通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养根据开普勒三大定律，地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳处在这个椭圆的一个焦点上在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点，在近日点时距离太阳14 710万千米在远日点时距离太阳15 210万千米事实上，很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆如神舟九号飞船，于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空，之后进入近地点高度200千米，远地点高度329.8千米的椭圆形轨道，然
2、后进行了5次变轨，两天后与天宫一号交会对接成功，这是中国实施的首次载人空间交会对接知识点1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c离心率e(0e1)1椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？提示最大距离：
3、ac；最小距离：ac2椭圆方程1(ab0)中a，b，c的几何意义是什么？提示在方程1(ab0)中，a，b，c的几何意义如图所示即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形，RtOB2F2也叫椭圆的特征三角形1(1)椭圆1的焦点坐标是_，顶点坐标是_(2)椭圆x24y24的离心率为()A BC D(1)(0，)(3，0)，(0，4)(2)A(1)由方程1知焦点在y轴上，所以a216，b29，c2a2b27因此焦点坐标为(0，)，顶点坐标为(3，0)，(0，4)(2)化椭圆方程为标准形式得y21，所以a24，b21，所以c2a2b23所以e知识点2椭圆离心率e的几
4、何意义椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b越趋近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2y2a23或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？提示或的大小能刻画椭圆的扁平程度(1)当1时，ba，椭圆越圆；当0时，b0，椭圆越扁(2)当0时，c0，此时ba，椭圆越圆；当时，b0，此时ca，椭圆越扁2比较椭圆x29y236与1的形状，则_更扁(填序号) x29y236化为标准方程得1，故离心率e1；椭圆1的离心率e2因为e1e2，所以更扁
5、类型1已知椭圆方程研究其几何性质【例1】求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标解把已知方程化成标准方程1，可知a5，b4，所以c3因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a10和2b8，离心率e，两个焦点分别是F1(3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(5，0)，A2(5，0)，B1(0，4)和B2(0，4)1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍跟进
6、训练1求椭圆4x29y236的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解将椭圆方程变形为1，a3，b2，c椭圆的长轴长和焦距分别为2a6，2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，离心率e 类型2利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x29y236有相同的焦距，且离心率为；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，4)解(1)将方程4x29y236化为1，可得椭圆焦距为2c2又因为离心率e，即，所以a5，从而b2a2c225520若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为1；若椭圆焦
7、点在y轴上，则其标准方程为1(2)依题意2a22b，即a2b若椭圆焦点在x轴上，设其方程为1(ab0)，则有解得所以标准方程为1若椭圆焦点在y轴上，设其方程为1(ab0)，则有解得所以标准方程为1利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程.在求解a2，b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2b2c2，e等构造方程(组)加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.跟进训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程
8、： (1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5，e，c4b2a2c225169椭圆方程为1或1(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，2c6，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1 类型3求椭圆的离心率【例3】(对接教材人教B版P132例2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率求椭圆
9、离心率的关键是什么？提示根据e，a2b2c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系解设椭圆的方程为1(ab0)，焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0)依题意设A点坐标为，则B点坐标为，|AB|由ABF2是正三角形得2c，即b22ac又b2a2c2，a2c22ac0，两边同除以a2得20，解得e1(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若AF1F2为正三角形”如何求椭圆的离心率？解设椭圆的方程为1(ab0)，焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0)，设A点坐标为(0，y0)(y00
10、)，则B点坐标为，B点在椭圆上，1，解得y4b2，由AF1F2为正三角形得4b23c2，即c48a2c24a40，两边同除以a4得e48e240，解得e12(变换条件)“若ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率解设椭圆方程为1(ab0)，F1(c，0)，F2(c，0)，由题意知A在椭圆上，1，解得e求椭圆离心率的方法(1)直接求出a和c，再求e，也可利用e求解(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解跟进训练3已知F1，F2是椭圆C：1(ab
11、0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()ABCDD由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为B设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，PF2B60|OF2|c，点P的坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)点P在过A且斜率为的直线上，a4c，即椭圆C的离心率e1椭圆1的离心率()AB C DAa216，b29，c27，从而e2若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程
12、是()A1 B1C1 D1A由已知得a9，2c2a，ca3，b2a2c272又焦点在x轴上，椭圆方程为13椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A B2 C D4C椭圆x2my21化为标准形式为：x21因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以4，所以m4某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：焦距为nm；短轴长为；离心率e其中正确说法的序号为_由题意，得nRac，mRac，可解得2cnm，a，2b22，e，故正确，不正确回顾本节知识，自我完成以下问题：1在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？提示椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点坐标、焦点坐标等与位置有关2a，b，c对椭圆形状有何影响？提示
