1、2016-2017学年度第一学期高三数学12月练习一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分）1如图，在复平面内，点对应的复数为，则复数（ ） ABCD【答案】D【解析】由题意，所以故选2当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】时， ，时，时，时，时，此时，所以输出故选3数列的前项和，若，且，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】，且，故选4”是”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，则，单调递增，且，“”是”的必要条件故选5已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（
2、）ABCD【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为，设，过点向准线作垂线，垂足为，则，又，由，则，即，解得，的面积为故选6如图，点为坐标原点，点，若函数（，且）及（，且）的图象与线段分别交于点，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足（ ）ABCD【答案】A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以，点为坐标原点，点，直线为，经过点，则它的反函数也经过点，又（，且）的图象经过点，根据对数函数的图象和性质可知：，故选7已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意可得函数的图象和直线只有一个交点，直线经过定点，斜率为，当，当时，如图所示，故故选8已知点在曲线上，过
3、原点，且与轴的另一个交点为，若线段，和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”那么下列结论中正确的是（ ）A曲线上不存在”完美点”B曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于D曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于【答案】B【解析】如图，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使
4、得，也一定是上方的点，否则，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况：设，当时，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于故选二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则_【答案】【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，其中一条渐近线的倾斜是，故10在中，角，的对边分别为，若，则_，_【答案】；【解析】，由正弦定理可得：，11已知直线，若，则实数_【答案】【解析】若，则，且，解得 12若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意，可求得交
5、点坐标为，如图所示，要使直线上存在点满足约束条件，则13如图，线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边，在第一象限内作矩形，设为原点，则的取值范围是_【答案】【解析】令，则，的取值范围是14对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质（）下列函数中具有性质的有_（）若函数具有性质，则实数的取值范围是_【答案】（）（）或【解析】（）在时，有解，即函数具有性质，令，即，方程有一个非实根，故具有性质的图象与有交点，故有解，故具有性质令，此方程无解，故，不具有性质的图象与的图象有交点，故有解，故具有性质综上所述，具有性质的函数有：（）具有性质，显然，方程有根，的值域为，解得或三、解
6、答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分分）函数的部分图象如图所示（）写出及图中的值（）设，求函数在区间上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】（）图象过点，又，由，得或，又的周期为，结合图象知，（）由题意可得，当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值16（本小题满分分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲乙（）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率（）如果，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望（）在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分
7、相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值（结论不要求证明）【答案】见解析【解析】（）由已知可得从甲的局的比赛中，随机选取局的情况有种，得分恰好相等的有种，所以这局的得分恰好相等的概率为（）当时，的可能取值有，所以，所以的分布列为：（）的可能值为，17（本小题满分分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且，（）若点为上一点且，证明：平面（）求二面角的大小（）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】（）证明：过点作，交于，连结，如图所示，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）解：梯形中，平面，如图，以为原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，
8、则，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，即，令得，同理可得，二面角为锐角，二面角为（）假设存在点满足题意，设，解得，上存在点使得，且18（本小题满分分）已知函数（为实常数）（）若为的极值点，求实数的取值范围（）讨论函数在上的单调性（）若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】见解析【解析】（），为的极值点，（），当，即时，此时，在上单调增，当即时，时，时，故在上单调递减，在上单调递增，当即时，此时，在上单调递减（）当时，在上单调递增，的最小值为，当时，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，当时，在上单调递减，的最小值为，综上可得：19（本小题满分分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上
9、，短轴长为，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点（）求椭圆的方程（）当直线的斜率为时，求的面积（）在线段上是否存在点，使得经，为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】（）由已知，椭圆方程可设为，两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为，故所求椭圆方程为（）右焦点，直线的方程为，设，由得，解得，（）假设在线段上存在点，使得以，为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，由可得：，其中，以、为邻边的平行四边形是菱形，即，化简得，20（本小题满分分）设函数，为曲线在点处的切线（）求的方程（）当时，证明：除切点之外，曲线在直线的下方（）设，且满足，求的最大值【答案】见解析【解析】解：（），的方程为，即（）要证除切点之外，曲线在直线的下方，只需要证明，恒成立，只需要证明，恒成立，令，则，令，则或，令，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，恒成立，即当时，除切点之外，曲线在直线的下方（）当，且时，由（）可知：，三式相加，得，当且仅当时取等号当，中至少有一个大于等于时，不妨设，综上所述，当时，取到最大值
