1、课时作业57圆锥曲线的综合问题1(2014浙江卷)如图，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.解析：(1)设直线l的方程为ykxm(k0)，由消去y得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l与C只有一个公共点，故0，即b2m2a2k20，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为P.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为xky0，所以点P到直线l1的距离d，整理得d，因为a2k22a
2、b，所以ab，当且仅当k2时等号成立所以，点P到直线l1的距离的最大值为ab.2(2014江西卷)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值解析：(1)设F(c,0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得b.又直线OA的方程为yx，则A，kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(
3、2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点M；直线l与直线x的交点为N，.则，因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所求定值为.3(2014山东卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解析：
4、由题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F
5、(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)()由()知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.则ABE的面积S416，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.4(2014福建卷)已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l
6、2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解析：方法一(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1
7、.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|得，8，即m24|4k2|4(k24)由得，(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二(1)同解法一(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为x
8、myt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1，同理得y2.设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8，所以t24|14m2|4(14m2)由得，(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m212或k2.由得，(4k2)x22kmxm20，因为4k20，所以x1x2，又因为OAB的面积为8，所以|OA|OB|sinAOB8，又易知sinAOB，所以8，化简得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得双曲线E的方程为1，由得，(4k2)x22kmxm24a20，因为4k20，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以双曲线E的方程为1.当lx轴时，由OAB的面积等于8可得l：x2，又易知l：x2与双曲线E：1有且只有一公共点综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.
