1、天津市滨海新区塘沽十三中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1. 经过 ， 两点的直线的一个方向向量为 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据方向向量与斜率的关系求解【详解】由题意，解得故选：D2. 已知椭圆C：的焦点为，过点直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义，可求得的周长为，即可得到答案.【详解】根据椭圆的定义，的周长为，的周长为.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算
2、求解能力，求解时注意3. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项.【详解】依题意可知是平行四边形对角线的交点，所以.故选：A.4. 直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a等于()A. 1B. 1C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0，从而可求a的值【详解】由题意，直线（a+2）x+（1a）y3=0与（a1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直（a+2）（a1）+（1
3、a）（2a+3）=0（a1）（a+22a3）=0（a1）（a+1）=0a=1，或a=1故选C【点睛】本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件5. 已知，是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设椭圆方程为，将点代入椭圆求出，利用建立方程，即可求出.【详解】由题意，设椭圆方程为，将代入椭圆方程得，由此求得，所以，又，可解得，所以椭圆C的方程为.故选：C.【椭圆】本题考查椭圆标准方程的求法，属于基础题.6. 已知直线与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先得出圆的圆心和半径，然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.【详解】圆即为所以圆心为，半径为因为直线与圆没有公共点，所以直线与圆相离所以，解得实数a的取值范围为故选：C【点睛】设圆半径为，圆心到直线的距离为，当直线与圆相离时有，当直线与圆相切时有，当直线与圆相交时有.7. 设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）A. B. C. 24D. 48【答案】C【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.8.
5、 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c3，则a2b2c29.由解得a2，b，则双曲线C的方程为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.9. 平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）A. 10B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用点到平面的距离的向量公式求解.【详解】，则点到平面的距离.故选：D10. 设F为双曲线
6、C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来二、填空题11. 过点
7、且与直线平行的直线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出所求的直线的斜率，再根据点斜式可得直线的方程.【详解】直线的斜率为，故所求直线的方程为，整理得：，故答案：12. 椭圆的焦距是2，则的值是_.【答案】【解析】【分析】直观根据焦距为2，得到，再根据，计算可得；【详解】解：因为椭圆的焦距是2，所以，即，因为，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13. 过作圆的切线，则其切线方程为_.【答案】或【解析】【分析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的
8、方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案【详解】圆的圆心为，半径为1，（1）当过点的直线垂直于轴时，此时直线斜率不存在，方程是，圆心到直线的距离为，直线符合题意；（2）当过点的直线不垂直于轴时，设直线方程为，即直线是的切线，点到直线的距离为，解之得，此时直线方程为切线方程为或故答案为：或【点睛】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平14. 圆关于直线对称的圆的方程为_【答案】【解析】【分析】求出的圆心关于直线的对称点可得对称圆的圆心，又两圆的半径相等，由此可得所求圆的方程.【详解】圆的圆心
9、为，半径为2，设关于直线的对称点为，则，解得.，则圆关于直线对称圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了求圆关于直线对称的圆的方程，属于基础题.15. 已知点是圆：上的动点，点则（1）线段中点的轨迹方程是_.（2）点的轨迹与圆相交，则过交点的直线方程是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）首先设，利用相关点法求点的轨迹方程；（2）两圆相减后的直线方程就是过两圆交点的直线方程.【详解】（1）设，则，整理为，因为，所以 整理为；（2）圆，圆，两圆相减得：.故答案为：；.【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨
10、迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.16. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【详解】过点作轴于点，如图所示：由是底角为的等腰三角形得，所以，所以，所以，即离心率，故答案为【 方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出; 构造的齐次式
11、，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率三、解答题17. 已知圆方程（1）求圆的圆心，半径；（2）直线经过，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）圆心；半径2；（2）或.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，直接求圆心和半径；（2）利用弦长公式，得到圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在两种情况，求直线方程.【详解】（1）圆心 半径2；（2）圆可化为.所以圆心到直线的距离为当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为，符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方
12、程为，即由题意得 解得直线的方程为综上所述，直线的方程为或.【点睛】易错点睛：本题第二问，根据弦长求直线方程时，不要忽略过定点直线，其中包含斜率存在和不存在两种情况，否则容易丢根.18. 设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为.（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的长及的面积.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）根据条件，直接求，求得椭圆方程；（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，代入弦长公式，最后代入面积公式.【详解】设椭圆的方程为，由题意，椭圆的方程为.（2）左焦点，右焦点，设，则直线的方程为，
13、由，消得，点到直线的距离，所以19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由已知证得，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角
14、坐标系.由已知可得，所以，.因为，.所以，又，平面，平面.所以平面.（2）设平面的法向量，由（1）可知，设平面的法向量因为，.所以，即，不妨设，得.，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）设，即.所以，即.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，即.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据
15、二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.20. 已知椭圆：的一个焦点为，上顶点到这个焦点的距离为2.（1）求椭圆的标准方程（2）若点在圆上，点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于（异于点），使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的直线，方程为 .【解析】【分析】（1）求出后可得椭圆方程.（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程后可用表示，从而可用表示，利用在圆上可求的值，从而得到所求的直线方程.【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为知：，因为上顶点到这个焦点的距离为2，故，所以，所求椭圆的标准方程为；（）假设存在过点的直线符合题意，则结合图形易判断直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为，由，得 .（*）点是直线与椭圆的一个交点，则，即点，即点在圆上.，化简得，解得，经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意，故存在满足条件的直线，其方程为.【点睛】方法点睛：（1）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定；（2）直线与椭圆的位置关系中，如果动直线与椭圆交于交于一个定点，那么可以用动直线的斜率表示另一个交点，从而可简化运算.
