1、第2课时充要条件学 习 任 务核 心 素 养1理解充要条件的概念(难点)2能够判定条件的充分、必要、充要性(重点、易混点)3会进行简单的充要条件的证明(重点、难点)1通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养2通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了”主人听了，随口说了句：“该来的没有来”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了”李四听了大怒，拂袖而去问题请你用逻辑学原理解释二人离去的原因知识点充要条件1充要条件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就
2、记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件2充要条件的判断概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件(1)如果pq且qp，则称p是q的充分不必要条件(2)如果pq且qp，则称p是q的必要不充分条件(3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论p的充要条件是q说明q是条件，p是结论充要条件的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq
3、，qs，则有ps，即p是s的充要条件1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件()(2)设xR，则x1是x31的充要条件()(3)不等式(2x1)(x3)0成立的充要条件是x3.()答案(1)(2)(3)2.设xR，则x2的一个必要不充分条件是()Ax1Bx3Dx2x1，但x1x2，选A3.已知集合Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，则AB的充要条件是_0a2AB0a2. 类型1充要条件的判断【例1】(对接教材P34例3)下列各题中，p是q的什么条件？(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)(1)p：x0，y0，q
4、：xy0；(2)p：ab，q：acbc；(3)p：x5，q：x10；(4)p：ab，q：a2b2.解命题(1)中，pq，但qp，故p是q的充分不必要条件；命题(2)中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；命题(3)中，pq，但qp，故p是q的必要不充分条件；命题(4)中，pq，且qp，故p既不是q的充分条件也不是必要条件充要条件判断2种方法(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条
5、件推证到哪些结论提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向1在下列四个结论中，正确的有()设xR，“x1”是“x2”的必要不充分条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；“a2b2”是“ab的充分不必要条件”；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件ABCDC对于结论，x2x1，但x1 x2，故正确；对于结论，由a2b20a，b不全为0，反之，由a，b不全为0a2b20，故正确 类型2充分条件、必要条件、充要条件的应用1记集合Ax|p(x)，Bx|q(x)，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件
6、呢？提示若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA2记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)，若MN，则p是q的什么条件？若NM，MN呢？提示若MN，则p是q的充分条件；若NM，则p是q的必要条件；若MN，则p是q的充要条件【例2】已知命题p：2x10，命题q：1mx1m(m0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_思路点拨9，)因为p是q的充分不必要条件，所以pq且qp，即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以或解得m9.所以实数m的取值范围为9，)利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要
7、条件)转化为集合间的关系(3)利用集合间的关系建立不等式(组)(4)求解参数范围2已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ”的必要条件，求实数a的取值范围解因为“xP”是“xQ”的必要条件，所以QP.所以解得1a5，即a的取值范围是1,5 类型3有关充要条件的证明或求解【例3】求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.证明假设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.证明pq，即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根，a12b1c0，即abc0.证明qp，即证明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.
8、故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“abc0”改为“ac0”，如何证明？证明因为ac0，所以b24ac0，方程ax2bxc0中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为0，所以方程ax2bxc0()有一个正根和一个负根，所以ac0方程()有一个正根和一个负根因为方程ax2bxc0有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的积为0，所以ac0.所以方程()有一个正根和一个负根ac0，从而ac0方程()有一个正根和一个负根，因此ac0是方程()有一个正根和一个负根的
9、充要条件充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证明方向不要反了(易错点).1“x1”是“x22x10”成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 A当x1时，x22x10.由x22x10, 解得x1，所以“x1”是“x22x10”成立的充要条件. 2设实数a，b满足|a|b|，则“ab0”是 “ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 C由ab0，得ab.又|a|b|，得 ab0；由ab0，得ab.又|a|b|，得ab0.故“ab0”是“ab0”的充要条件3如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C
10、的充分不必要条件，那么A是D的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B根据题意得，AB，BA，BC，DC，CD，所以DCBA，即DA，可从集合的角度考虑得出AD，所以A是D的必要不充分条件4在平面直角坐标系中，点(x,1x)在第一象限的充要条件是_0x1由题意，可得x0，且1x0，0x15若“xa”是“x6”的必要条件，则实数a的取值范围是_(，6由“xa”是“x6”的必要条件，知a6，故实数a的取值范围为(，6回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何从命题角度判断p是q的充分必要条件？提示(1)原理：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立(2)方法：若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件2如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？提示若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立
