1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词学 习 任 务核 心 素 养1理解命题的含义，并会判断其真假. 2理解全称量词与全称量词命题的定义；理解存在量词与存在量词命题的定义3能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“，”)来表述相关的数学内容(重点)4会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假(重点、难点)1通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养2借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力.德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,7753177”，同年欧拉首先肯定
2、了哥德巴赫猜想的正确，并且认为每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还需要证明这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠.200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“12”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“12”到“11”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题：(1)对任意实数x，都有x20；(2)存在有理数x，使x220.问题上述命题中有哪些关键的量词？知识点一命题的概念1下列语句是命题的
3、有_(填序号)是有理数；3x25；梯形是不是平面图形呢？一个数的算术平方根一定是负数“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题2.下列命题中，真命题是_，假命题是_(填序号)(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x4时，2x10；(3)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(4)一个正整数不是素数就是合数；(5)若xN，则x24x70.(1)(3)(5)(2)(4)(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)是
4、假命题，x4不满足2x10.(3)是真命题，x3或x7能得到(x3)(x7)0.(4)是假命题，由于整数1既不是素数，也不是合数(5)是真命题，因为当xN时，x24x70恒成立，所以该语句是命题，且是真命题知识点二全称量词和存在量词全称量词存在量词量词任意、所有、每一个存在、有、至少有一个符号命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题命题形式“对集合M中所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“xM，r(x)”“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“xM，s(x)”“一元二次方程ax22x10有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形
5、式提示是存在量词命题，可改写为“存在xR，使ax22x10”3.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题()(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题()(3)全称量词命题一定含有全称量词()答案(1)(2)(3)提示有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”，即“所有正数都大于0”4.下列命题中，全称量词命题的个数为()平行四边形的对角线互相平分；梯形有两边平行； 存在一个菱形，它的四条边不相等A0B1C2D3C是全称量词命题，是存在量词命题 类型1命题与
6、真假命题的判断【例1】判断下列语句是不是命题？若是，判断其真假，并说明理由(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；(3)5x4x；(4)未来是多么美好啊！(5)你是高二的学生吗？(6)若xy是有理数，则x，y都是有理数解(1)是命题，而且是真命题(2)是命题，而且是假命题对角线互相垂直平分的四边形才是菱形如图，四边形ABCD中，只满足ACBD，显然不是菱形(3)不是命题因为x是未知数，不能判断不等式的真假(4)是感叹句，不涉及真假，不是命题(5)是疑问句，不涉及真假，不是命题(6)是命题，而且是假命题如x，y，xy0是有理数，而x，y都是无理数怎样判断一个语句是不是命
7、题？怎样判断一个命题的真假？提示(1)判断一个语句是不是命题，关键看这个语句是否具备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假(2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证明；而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可1下列语句是不是命题？若是，判断其真假，并说明理由(1)一个数不是合数就是质数(2)x16.(3)一个实数不是正数就是负数(4)x2或x3是方程x25x60的根(5)空集是任何非空集合的真子集解(1)是假命题例如：1既不是质数也不是合数(2)不是命题因为没有给定变量x的值，无法确定其真假(3)是假命题因为0既不是正数也不是负数(4)是真命题代入验证即可(5)是真命题由空集
8、的定义和性质不难得出 类型2全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题的识别【例2】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sinAcosB解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360”，故为全称量词命题(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题全称量词命题与存在量词命题的真假的判断【例3】判断下列命题的真假(1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等；(3)存在xR，使x22x30.解(1)2是素数，但2不是奇数所以
9、全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题(2)真命题(3)由于任意xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的实数x不存在，所以存在量词命题“存在xR，使x22x30”为假命题全称量词命题和存在量词命题真假的判断(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成立即可(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题为假，需要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立2指出下列命题是全称量词命题还
10、是存在量词命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个xR，使0.解(1)是全称量词命题，因为xN,2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是存在量词命题因为不存在xR，使0成立，所以该命题是假命题 类型3依据含量词命题的真假求参数取值范围【例4】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B.(1)若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“xA，xB”是真命题，求m的取值范围解(1)由于命题p：“xB，xA”是真命题，所以BA，又B，所以解得2m3.即m的取值范围是m|2m3(2)q为真，则AB，因为B，所以m2.所以解得2m4.即m的取值范围是m|
11、2m4求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)3已知命题p：xR，函数yax22x3的图像总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围解命题p为真命题，当a0时，一次函数y2x3的图像总在x轴上方，显然不能恒成立；当a0时，由二次函数yax22x3的图像总在x轴上方，得即a.综上，a的取值范围为.1下列语句不是命题的有()若ab，bc，则ac；x2；37.A0个B1个C2个D3个B是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题故选B2下列命题是存在量词命题的是()A对顶角相等B正方形都是四
12、边形 C不相交的两条直线是平行直线 D存在实数大于等于1 D选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D3(多选题)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是()A至少有一个xZ，使得x23成立B对任意a，bR，都有a2b22(ab1)C平行四边形的对角线互相平分D菱形的两条对角线长度相等BC选项A：因为023,0Z，所以至少有一个xZ，使得x23成立，是真命题，但不是所有的xZ，都有x23成立，不是全称量词命题；选项B：a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，本命题是真命题，又因为a，bR都使命题成立，故本命题符合题意；选项C：是真命题，是全称量词命题； 选项D：并不是
13、所有的菱形对角线长度都相等，故本命题是假命题故选BC4下列命题：若xy1，则x，y互为倒数；平行四边形是梯形；若x，y互为相反数，则xy0，其中真命题为_是真命题；平行四边形不是梯形，假命题；是真命题5已知命题p：“xR，关于x的一元二次方程x22xm0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是_(，3因为关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，所以(2)24m0，解得m3，所以实数m的取值范围是(，3回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何判断全称量词命题与存在量词命题？提示判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断2怎样判断全称量词命题的真假？提示要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题3怎样判断存在量词命题的真假？提示要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题- 8 - 版权所有高考资源网
