1、空间向量的正交分解及其坐标表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有()A.a与b共线B.a与b同向C.a与b反向D.a与b共面2.(2013石家庄高二检测)设向量a,b,c不共面,则下列各组向量可作为空间的一个基底的是()A.a+b,b-a,aB.a+b,b-a,bC.a+b,b-a,cD.a+b+c,a+b,c3.(2013珠海高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是上底面对角线AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则可表示为()A.a+b+cB.a-b+cC.-a-b+cD.-a+b+c4.在
2、正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且=+m-n,则()A.m=,n=-B.m=-,n=-C.m=-,n=D.m=,n=5.(2013大理高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则下列式子中与相等的是()A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c二、填空题(每小题8分,共24分)6.如图,在空间四边形OABC中,已知E是线段BC的中点,G是AE的中点,若,分别记为a,b,c,则用a,b,c表示的结果为=.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若+
3、=0(R),则=.8.(2013金华高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则向量的坐标为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且=2,=,求满足=x+y+z的实数x,y,z的值.10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EFA1D,EFAC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量的坐标.(2)
4、求证:EFBD1.11.(能力挑战题)如图,在梯形ABCD中,ABCD,ADC=90,AB=2,DC=3,AD=1,E是DC上一点,且DE=1,连接AE,将DAE沿AE折起到D1AE的位置,使得D1AB=30,设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量,表示向量.(2)求直线OD1与BC所成角的余弦值.答案解析1.【解析】选A.根据题意向量a,b与任何向量都共面,所以只有在a,b共线的条件下才有可能.2.【解析】选C.由已知条件及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.3.【解析】选D.结合图形,根据三角形法则和平行四边形法则计算得=+=+(+)=-+=-a+b+c.
5、【举一反三】若把条件=c改为=c,则结论如何?【解析】如图,=+=-+=-+-=-+-(+)=-+=-a-b+c.4.【解析】选A.=+=+(+)=+=+m-n,=,=,m=,n=-.5.【解析】选A.6.【解析】连接OE.=+=(+)+=(+)-(+)=(+)-(-)+(-)=(+)-(+-2)=+=a+b+c.答案:a+b+c7.【解题指南】通过向量的运算与代换,把用表示,可求得.【解析】如图,连接A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,易知EF=A1D,=,+=0,=-.答案:-【变式备选】如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,且=a,=b,=c,且=,用a,b
6、,c表示以下向量:(1).(2).【解析】(1)=+=+=-a+b+c.(2)=+=+=+(+)=a-b+c.8.【解析】由图易知E(1,1,),F(0,0),=(-1,-,-)答案:(-1,-,-)9.【解题指南】解决本题可以结合图形,从向量出发,利用向量的运算法则不断进行分解,直到全部向量都用,表示出来,即可求出x,y,z的值.【解析】方法一:如图所示,取PC的中点E,连接NE,则=-.=-,=-=-=,连接AC,则=-=+-,=-(+-)=-+,x=-,y=-,z=.方法二:如图所示,在PD上取一点F,使PFFD=21,连接MF,则=+,而=-,=-=-=(-),=-+.x=-,y=-,
7、z=.方法三:=-=-=(+)-(+)=-+-(-+)=-+x=-,y=-,z=.10.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量,从而使问题得解.【解析】(1)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,根据题意知,为单位正交基底,设=i,=j,=k,向量可用单位正交基底i,j,k表示,=+,与共线,与共线,设=,=,则=+=(+)+(-)=(+)+(1-)+=(+)i+(1-)j+k,EFA1D,EFAC,即,=0,=0,又=-i-k,=-i+j,整理得即解得=i+j-k的坐标是(,-).(2)=+=-i-j+k,=-,即与共线,又EF与BD1无公共点,EFBD1.11.【解析】(1)=+=+=+=-+.(2)=+=-+=-+,=,又=45,=45,D1AB=30,cos=.又异面直线OD1与BC所成角的范围为(0,OD1与BC的夹角的余弦值为.【拓展提升】求解折叠问题的妙招向量法折叠问题实际上是一个平面图形转变为一个立体图形的过程,用向量法解决折叠中有关角和长度的问题时,应注意以下几点:(1)发现图形在折叠前后相应量的变化情况,特别是角、长度的变化.(2)选取合适的基向量,将问题中涉及到的向量用基向量进行表示.(3)借助向量的运算解决角与长度的问题.
