1、吉林省白城市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如下表所示：同学甲同学乙同学丙同学丁同学戊相关系数0.45-0.690.74-0.980.82则由表可知（）A.乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高B.甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高C.乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究
2、的那组数据线性相关程度最高D.甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高3.函数 的图象在 处的切线方程为（ ） A.B.C.D.4.三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A.729B.18C.216D.815. 展开式中的常数项为（ ） A.12B.8C.-8D.-126.已知定义在 上的函数 恰有3个极值点，则 的导函数的图象可能为（ ） A.B.C.D.7.现有下面四个命题： 若 ，则 ；若 ， ，则 ；如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；若数列 满足 ， ，则由数学归纳法可证明 其中所有真命题的序号是（ ）A.
3、B.C.D.8.设，则随机变量的分布列是：01则当在内增大时（）A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大9.设 ，则 （ ） A.-36B.6C.-29D.-2710.已知 的共轭复数 ，且 ，则 的最大值为（ ） A.B.C.D.11.某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（ ） A.0.87B.0.89C.0.91D.0.9212.我国南宋数学家杨辉1261年所著的（详解九章算法）一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“
4、杨辉三角”中，已知第 行的所有数字之和为 ，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前37项和为（ ） A.1040B.1014C.1004D.1024二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 的虚部为_ 14.某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从09这10个数字中任选一个）小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为_ 15.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常
5、工作，则部件正常工作元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为 ， ， ，则这个部件能正常工作的概率为_ 16. 展开式中的二项式系数和为64，则 _，展开式中 的系数是_ 三、解答题(本大题共70分)17.在直角坐标系中，曲线 的方程为 ，曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的 ，得到曲线 以原点为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线 的极坐标方程为 ， 与曲线 ， 分别交于 ， 两点 （1）求曲线 的直角坐标方程和极坐标方程； （2）求 的值 18.某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下50人，50岁及以上50人第一次接种后10天，该企
6、业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体50岁以下50岁以上合计有抗体没有抗体合计填写上面的22列联表，并判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关参考公式：，其中P（K2k0）0.150.100.0500.0100.001k02.0722.7063.8416.63510.82819.已知函数 （1）求 的单调区间； （2）求 在 上的最值 20.现有6位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念 （1）求甲、乙不相邻的概率； （2）设甲、乙之间所隔人数为 ，例如，当甲、乙相邻时， ，求 的数学期望 21.某车间生产一
7、批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87 87 88 92 95 97 98 99 103 104设这10个数据的平均值为 ，标准差为 （1）求 与 （2）假设这批零件的内径 （单位： ）服从正态分布 从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于 的个数为 ，求 ；若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位： ），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由参考数据：若 ，则 ， ，取 22.已知函数 （1）若 存在极值，求 的取值范围 （2）当 时，证明： 答案解
8、析部分吉林省白城市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题1.已知 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因为 ， 所以复数z在复平面内对应的点 位于第四象限。故答案为：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数z的几何意义求出对应的点的坐标，再利用点的坐标确定复数 在复平面内对应的点所在的象限。2.为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如下表所示：同学甲同学乙同学丙同学丁同学戊
9、相关系数0.45-0.690.74-0.980.82则由表可知（）A.乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高B.甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高C.乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高D.甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高【答案】 B 【考点】相关系数 【解析】【解答】由题意知： ，又因为 越接近于1，数据的线性相关程度越高， 越接近于0，数据的线性相关程度越低所以甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件得
10、出 ， 又因为 越接近于1，数据的线性相关程度越高， 越接近于0，数据的线性相关程度越低，则利用相关系数判断线性相关程度高低的方法，所以甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高，从而选出正确的答案。3.函数 的图象在 处的切线方程为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】 ，则 ，故 ， 因为 ，因此，函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 。故答案为：A. 【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数 的图象在 处的切线方
11、程 ，再转化为切线的一般式方程。4.三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A.729B.18C.216D.81【答案】 C 【考点】分步乘法计数原理 【解析】【解答】第一步，从六个风景点中选一个给第一个班，有6种选法； 第二步，从六个风景点中选一个给第二个班，有6种选法；第三步，从六个风景点中选一个给第三个班，有6种选法根据分步乘法计数原理，不同的选法种数是 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数。5. 展开式中的常数项为（ ） A.12B.8C.-8D.-12【答案】 C 【考点】二项式定
12、理的应用 【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ， 所以 展开式中的常数项为 。故答案为：C 【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。6.已知定义在 上的函数 恰有3个极值点，则 的导函数的图象可能为（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】函数的图象，函数在某点取得极值的条件 【解析】【解答】根据函数极值点的定义可知，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0， 另一个是该点左、右两边的导数值异号，A与C对应的函数 只有2个极值点，B对应的函数 有4个极值点，D对应的函数 有3个极值点。故答案为：D. 【分析】根据函数极值点的定义可知，函
13、数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0， 另一个是该点左、右两边的导数值异号，再结合已知条件定义在 上的函数 恰有3个极值点，再利用函数 的导函数的图象，从而选出正确的选项。7.现有下面四个命题： 若 ，则 ；若 ， ，则 ；如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；若数列 满足 ， ，则由数学归纳法可证明 其中所有真命题的序号是（ ）A.B.C.D.【答案】 B 【考点】命题的真假判断与应用，函数的周期性，复数的基本概念，复数求模，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，概率的应用，数学归纳法 【解析】【解答】若 ，则 ，则 ，故是假命题 若 ， ，则 ，故是真命
14、题因为 ，所以是真命题因为 ， ，所以当 时，满足 假设当 时， ，则 ，即当 时， 也成立，故是真命题。故答案为：B 【分析】利用复数与共轭复数的关系结合已知条件，从而求出复数z，再利用复数的加法运算法则结合复数求模公式，从而求出；利用随机变量X服从正态分布结合对应的函数的图像的对称性，从而结合已知条件求出；利用数列的周期性，从而得出 ， 进而推出如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；利用已知条件结合递推公式合数学归纳法证明方法，从而证出 ，进而找出真命题的序号。8.设，则随机变量的分布列是：01则当在内增大时（）A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大【答
15、案】 D 【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】方法一：由分布列得： ， 则 ， 当 在 内增大时， 先减小后增大。方法二：由分布列得： ， ，则 ， 当 在 内增大时， 先减小后增大。故答案为：D. 【分析】利用两种方法求解。方法一：利用随机变量X的分布列结合数学期望公式和方差公式，得出 ， 再结合实数a的取值范围结合二次函数的图像的单调性，从而推出当 在 内增大时， 先减小后增大。方法二：利用随机变量X的分布列结合数学期望公式得出 ，进而推出 ，再利用数学期望和方差的关系式得出 ， 再利用实数a的取值范围结合二次函数的图像的单调性，从而推出当 在 内
16、增大时， 先减小后增大。9.设 ，则 （ ） A.-36B.6C.-29D.-27【答案】 C 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】令 ，得 ； 令 ，得 ，因为 ，所以 。故答案为：C. 【分析】利用赋值法得出，令 ，得出 ，令 ，得出 ，再利用二项式定理求出展开式的通项公式，再结合展开式中的通项公式和组合数公式得出 ， 再利用求和法求出的值。10.已知 的共轭复数 ，且 ，则 的最大值为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【解答】因为 ，所以 ， 则 ， ， ，所以 设 ，所以 ， 则复数 在复平面内对应的点 的轨迹为：以 为圆心， 为半径的圆，设
17、 ，故 的最大值为 。故答案为：A. 【分析】利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z，再利用复数的混合运算法则结合求模公式和已知条件，从而得出 ， 则复数 在复平面内对应的点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，设 ，再利用几何法结合复数求模公式，得出 的最大值。11.某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（ ） A.0.87B.0.89C.0.91D.0.92【答案】 D 【考点】互斥事件与对立事件，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：若他们的座位
18、左右相邻，则有 种可能； 若他们的座位前后相邻，则有 种可能，故他们观影时座位不相邻的概率 。故答案为：D. 【分析】利用分类加法计数原理结合对立事件求概率公式和古典概型求概率公式，从而求出他们观影时座位不相邻的概率。12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的（详解九章算法）一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第 行的所有数字之和为 ，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前37项和为（ ） A.1040B.1014C.1004D.1024【答案】 B 【考点】等差数列的前n项和，等比数列的前n项和
19、，数列的求和 【解析】【解答】没有去掉“1”之前，第1行的和为 ，第2行的和为 ，第3行的和为 ， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则前 项和为 每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前 项总个数为 ，当 时， ，去掉两端“1”，可得 ，则去掉两端“1”后此数列的前36项和为 ，所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，第一个数为10，所以该数列的前37项和为 。故答案为：B 【分析】利用类比推理的方法结合已知条件，再利用等比数列和等差数列的定义，从而结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，再利用分类讨论的方法，从而求
20、出此数列的前37项和。二、填空题13. 的虚部为_ 【答案】 -1 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解： ， 所以虚部为-1。故答案为：-1。 【分析】利用复数乘法运算法则求出所求复数，再利用复数的虚部的定义求出所求复数的虚部。14.某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从09这10个数字中任选一个）小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为_ 【答案】 100 【考点】分步乘法计数原理 【解析】【解答】因为09中的质数为2，3，5，7
21、，共有4个数字； 09中奇数为1，3，5，7，9，共有5个数字；09中偶数为0，2，4，6，8，共有5个数字；故由分步乘法计数原理可知，他可选择的不同密码的个数为 。故答案为：100 【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出他可选择的不同密码的个数。15.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为 ， ， ，则这个部件能正常工作的概率为_ 【答案】【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】由题意，元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为 ， ， ，且相互独
22、立， 所以这个部件正常工作的概率为 。故答案为： 。 【分析】利用已知条件得出元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为 ， ， ，且相互独立，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出这个部件正常工作的概率。16. 展开式中的二项式系数和为64，则 _，展开式中 的系数是_ 【答案】 6；-540 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用 【解析】【解答】二项式展开式中的二项式系数和 ，则 ， 展开式的通项为 ，由 ，可得 展开式中 的系数是 。故答案为： 6 ； -540 。 【分析】二项式展开式中的二项式系数和的公式结合已知条件 展开式中的二项式系数和为64， 得出 ，
23、 从而求出n的值，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出展开式中 的系数。三、解答题17.在直角坐标系中，曲线 的方程为 ，曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的 ，得到曲线 以原点为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线 的极坐标方程为 ， 与曲线 ， 分别交于 ， 两点 （1）求曲线 的直角坐标方程和极坐标方程； （2）求 的值 【答案】 （1）解：将曲线 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的 ， 得到曲线 ，即 把 代入得 ，即 （2）设 ， ，曲线 的极坐标方程为 ， 则 ， 所以 【考点】两点间的距离公式，平面直角坐标轴中的伸缩变换，点
24、的极坐标和直角坐标的互化 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合图象的伸缩变换，得出曲线的直角坐标方程为 ，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出曲线 的极坐标方程。 （2）利用已知条件结合直线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，分别联立直线与两曲线的方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出 的值。 18.某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下50人，50岁及以上50人第一次接种后10天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体50岁以下50岁以上合计有抗体没有抗体合计填写上面的22列联表，并
25、判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关参考公式：，其中P（K2k0）0.150.100.0500.0100.001k02.0722.7063.8416.63510.828【答案】解：50岁以下50岁以上合计有抗体453075没有抗体52025合计5050100因为，所以有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关【考点】独立性检验的应用 【解析】【分析】利用已知条件填写列联表，再利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，从而判断出有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关。19.已知函数 （1）求 的单调区间； （2）求 在 上的最值 【
26、答案】 （1）由题意，函数 的定义域为 ， 且 ，令 ，即 ，解得 或 ；令 ，即 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .（2）由（1），令 ，即 ，解得 或 因为 ，所以 舍去，即 ，又因为 ， ， ，所以 在 上的最大值为 ，最小值为 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。 （2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数再给定区间的最值。20.现有6位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念 （1）求甲、乙不相邻的概率； （2）设甲、乙之间所隔
27、人数为 ，例如，当甲、乙相邻时， ，求 的数学期望 【答案】 （1）先将除去甲乙两人之外的4位老师，进行全排列，共有 种排法， 在将甲乙两位老师，利用插空法插入5个空隙中的两个位置，共有 种方法，所以甲乙不相邻的排法共有 中排法，则甲、乙不相邻的概率为 （2）由题意，随机变量 的可能取值为0，1，2，3，4， 可得 ， ， ， ， ，所以数学期望为 【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差，排列、组合及简单计数问题 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式和插空法，再利用古典概型求概率公式，从而求出甲、乙不相邻的概率。 （2） 由题意可知随机变量 的可能取值为0，1
28、，2，3，4， 再利用组合数公式和排列数公式，再结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。21.某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87 87 88 92 95 97 98 99 103 104设这10个数据的平均值为 ，标准差为 （1）求 与 （2）假设这批零件的内径 （单位： ）服从正态分布 从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于 的个数为 ，求 ；若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（
29、单位： ），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由参考数据：若 ，则 ， ，取 【答案】 （1）解： ， ，则 （2）因为 ， 所以 ，则 ，所以 ，故 因为 ，所以5个零件中恰有1个的内径（单位： ）不在 内的概率为 ，因为 ，所以试生产的5个零件就出现了1个不在 内，出现的频率是0.01485的十三倍多，根据 原则，需要进一步调试【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，概率的应用 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和标准差公式，从而求出 与 的值。 （2） 利用随机变量Z
30、服从正态分布，结合正态分布对应的函数的图像的对称性，从而求出 的值 ，再利用随机变量X服从二项分布，从而利用二项分布求方差公式得出随机变量X的方差，再利用D(X)与 的关系式，从而求出的值。 因为 ，所以5个零件中恰有1个的内径（单位： ）不在 内的概率为 ，因为 ，所以试生产的5个零件就出现了1个不在 内，所以出现的频率是0.01485的十三倍多，根据 原则，需要进一步调试。22.已知函数 （1）若 存在极值，求 的取值范围 （2）当 时，证明： 【答案】 （1）解： ， 由 ，得 ，设函数 ，则 ,当 时， ；当 时， 故 ，当 时， ， 不存在极值，所以 ，故 的取值范围是 （2） 在
31、上为增函数， 且 ， ，所以 ， ，且 在 上单调递减，在 上单调递增又 ，所以 ，则 因为 ，所以 ，即 ，故 （方法二）因为 ，所以 ，当 时， ；当 时， 当 时，易证 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 故 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最小值，再利用已知条件函数 存在极值，进而求出实数 的取值范围。 （2）利用两种方法证明。方法一：利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断出函数 在 上为增函数，再结合零点存在性定理得出 ，使得 ，再利用求导的方法判断函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又因为 ，结合代入法得出 ，再利用函数的单调性求出函数的最小值，则 ，因为 ，所以 ，即 ，从而证出 。 方法二：因为 ，所以 ，再利用分类讨论的方法，得出当 时， ；当 时， ；当 时，易证 ，所以 ，再利用二次函数的图像求最值的方法，得出 ，所以 ，又因为 ， 从而证出 。
