1、天津市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试题一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）（每小题 5 分）A1.设集合 A =x | y = log2 (2 - x)， B = x | x 2 - 3x + 2 0 ，则C B =（）A (-,1)B (-,1C (2, +)D 2, +)2设 x R, 则“| x - 1 | 0 ”的（）2 - xA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 曲线 y = ln x - 2 在 x = 1 处的切线的倾斜角为a，则cosa+ sina的值为（）xA 2 105B 10
2、5C - 105D 2 1054. 已知抛物线 y2 = 2 px( p 0) 上一点 M (1，m) 到其焦点的距离为5 ，双曲线 x2 - y2 = 1a的左顶点为 A ，若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a =()AB2CD5将函数 f ( x) = sin(3x +j)(0 j p)p图象向左平移 4 个单位长度后得到函数g ( x ) 的图象，若直线 x = p是 g ( x ) 的图象的一条对称轴，则（）6A f ( x ) 为奇函数B g ( x ) 为偶函数C f ( x ) 在 p ,p 上单调递减D g ( x ) 在- p ,p 上单调递增12 3 15 9
3、6. 已知奇函数 f (x) ，且 g(x) = xf (x) 在0, +) 上是增函数，若 a = g (- log2 5.1) ，b = g (20.8 ) ， c = g (3) ，则 a,b, c 的大小关系为（）A. a b cB. c b aC. b a cD. b c 0C. 7 4D. 9 5 29. 已知函数 f ( x) = x +3 x, x 02的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y = -1的对称点在 y = kx -1的图像上，则实数 k 的取值范围是（）A . 1 ,1B 1 , 3 C 1 ,1D 1 , 2 2 2 4 3 2二、填空题：（每小题 5 分）1
4、0设 z = 1- i + 2i ，则| z |=.1+ i611. 二项式 x - a 展开式中的常数项为 240，则实数 a 的值为 .x 12. 一所中学共有 4 000 名学生，为了引导学生树立正确的消费观，需抽样调查学生每天样本，使用零花钱的数量(取整数元)情况，分层抽取容量为 300 的作出频率分布直方图如图所示，请估计在全校所有学生中， 一天使用零花钱在 6 元14 元的学生大约有 _人x2y22 313. 已知双曲线-a2b2= 1(a 0, b 0) 的离心率为则它的一条渐近线被圆3( x + 4)2 + y2 = 8 所截得的弦长等于 .14.2019 年底,武汉发生“新型
5、冠状病毒”肺炎疫情,国家卫健委紧急部署,从多省调派医务工作者前去支援,正值农历春节举家团圆之际,他们成为“最美逆行者”.武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者无法明确排除新冠 肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户不漏 一人.若在排查期间,某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切接触者”,现医护人员要对这5 人随机进行逐一“核糖核酸”检测,只要出现一例阳性,则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为 p(0p的左右焦点分别为 F , F ，离心率为3 ，过抛物1a2b21(ab0)12线C ：
6、x2 = 4by 焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点，当| MF |= 7 时， M 点在 x 轴上24的射影为 F1 ，连接 NO, MO 并延长分别交C1 于 A, B 两点，连接 AB ， DOMN 与DOAB的面积分别记为 SDOMN， SDOAB，设l= SDOMN .SDOAB（）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程；（）求l的取值范围.19. （本题满分 16 分）已知等比数列a 的各项均为正数， 2a , a , 4a 成等差数列，且满足 a = 4a2 ，数列n54643b 的前 n 项和 S = (n +1) b ， n N * ，且b = 1.nn2n1（）求数列a
7、n 和bn 的通项公式；（）设c = bn , n为奇数 ，求数列c 的前 n 项和 P .na , n为偶数nn（）设 d n=b2n+5na ， n N * ，d 的前 n 项和T ，求证： T 1 .nb2n+1b2n+3nnn320. （本题满分 16 分）设函数 f (x) = ax -2-ln x (a R) .（）求 f (x) 的单调区间；（）当 a = 1 时，试判断 f (x) 零点的个数；（）当 a = 1 时，若对x (1, +) ，都有(4k -1-ln x)x + f (x) -1 0故选：A.4. 【答案】Dcosa=10510【解析】根据抛物线的焦半径公式得1+
8、 p = 5, p = 8 取 M（1，4），则 AM 的斜率为22，由已知得 -5. 【答案】Ca 2 = -1，故 a = 1 4g(x) = pp【解析】由题意知sin 3 x + + j ，因为直线 x =是 g ( x) 的图象的一条对称 4 6轴，所以3p+ p +j= p + kp(k Z) ，故j= - 3p + kp, k Z ，因为0 j p，所以6424j= p ， f (x) = sin 3x + p 为非奇非偶函数，所以 A 选项错误.44 p p 3x pp 5p p p因为 x , ，则+ 4 , ，所以 f ( x) 在, 上单调递减，所以 C 选项正确.12
9、3 24 12 3 因为 g (x) = -sin 3x ，所以 g ( x) 为奇函数，所以 B 选项错误.x - p ,p 3x -p p g x- p ,p当 15 9 时，, ， 所以( ) 在 上单调递减，所以 D 选项错误.故选：C6. 【答案】C 5 3 15 9 【解析】因为 f (x) 是奇函数，从而 g(x) = xf (x) 是 R 上的偶函数，且在0, +) 上是增函数，a = g (- log2 5.1) = g (log2 5.1) ， 20.8 2 ，又 4 5.1 8 ，则 2 log2 5.1 3 ，所以即0 20.8 log2 5.1 3 ，2g(20.8
10、) g(log 5.1) g(3) ，所以b a 0 时， f ( x) = x ln x - 2x ， f ( x) = ln x -1 ，当 x = e 时， f ( x) = 0 ，则当x (0, e) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 单增；当 x 0 时， f ( x) = x2 + 3 x ， f ( x) = 2x + 3 ，当 x = - 3 ， f ( x) = 0 ,当 x - 3 时，2244f ( x) 单减，当- 3 x 0 ）相切时，满足 y = mx - 1，m = ln x -1解得 x = 1, m = -1，结合图像可知 m -1, - 1 ，即-k
11、 -1, - 1 ， k 1 ,1 ，故选：A2 2 10111. 【答案】2a r6- 3 r3 2【解析】T= Cr x6-r- = Cr (-a )r x2 ，由6 -r = 0 得xr +16662r = 4,C4 (-a)4 = 240 ，解得 a = 2 .故答案为： 2 .12. 【答案】2720【解析】根据频率分布直方图得；一天使用零花钱在 6 元14 元的学生频率是1（0.02+0.03+0.03）4=10.32=0.68，对应的频数是 40000.68=2720；估计全校学生中，一天使用零花钱在 6 元14 元的大约有 2720 人 13.【答案】4x2y22 3c2 3【
12、解析】因为双曲线-a2b2a2 + b2a2= 4 ，3= 1(a 0, b 0) 的离心率为，即=3a，所以3所以 b =a3 ，故双曲线的渐近线方程为 y = 33 x ，即 3x 3y = 0 ，3又圆( x + 4)2 + y2 = 8 的圆心为(-4，0) ，半径为 r = 2 2 ，所以圆心到任一条渐近线的距离为 d =-4 3 = 2 ，3 + 9r2 - d 2因此，弦长为 2故答案为 4= 4 .1514.1- 515【答案】 2 2, 2 323 .46【解析】根据菱形性质可得 OC=3 ,则 BO=.(1) 作AFBC,则AF= 2 3 336 = 2,此时AE最短,当E
13、与 C重合时,AE最长,故222 AE 2,即| EA | 2 2, 2 3 ;(2) 以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则A(0,)B( -,0),C(0, -),D( 6 ,0),363所以 BC:y= -2 x -,设 E(m, -322 m -)3+2uur uuur221 2 223则 EA ED = -m, 2 3 +2 m 6 - m,m +23 = 2 3m +2 4,其中m - 6, 0对称轴为 m= -6 - 6, 0 ,故当 m= -6 时 EA ED 最小,最小值为 23 .12124故答案为：2 2, 2 3； 23 416【答案】（1）最小值为 -2 ；x |
14、 x = kp- p ， k Z；（2） a = 1 ， b = 26)【解析】（1）Q f (x) =3 sin 2x - cos 2 x - 1 =3 sin 2x - 1 +cos 2 x - 1 = sin(2x - p -1 ，222226当2x - p = 2kp - p ，即 x = kp- p(k Z ) 时， f (x) 的最小值为-2 ，626此时自变量 x 的集合为：x | x = kp- p ， k Z6（2）Q f （C） = 0 ，)sin(2C - p - 1 = 0 ，6pp11pppp又Q0 C p，- 2C - 0) ，由2 = 4 y，解得 xN = 4m
15、 ，从而可求得 ON= 4m，同理可得 OM , OA , OB ,故可将l= SDOMN =SDOAB化为 m 的代数式，用基本不等式求ON OMOA OB解可得结果 试题解析：（）由抛物线定义可得 M -c, 7 - b ，4点 M 在抛物线 x2 = 4by 上， c2 = 4b 7 - b ，即c2 = 7b - 4b2 4又 由 c =a3 ，得2c2 = 3b2将上式代入，得7b2 = 7b解得b = 1, c =3,a = 2 ，C 的x2 + 2 =Cx2 =所以曲线 1方程为y41 ，曲线 2 的方程为4 y （）设直线 MN 的方程为 y = kx +1， y = kx +
16、 1x由2= 4 y消去 y 整理得 x2 - 4kx - 4 = 0 ，设 M（x1 , y1 ) ， N ( x2, y2 ) .则 x1 x2 = -4 ，设 kON = m ， kOM = m ，则 mm = y2 y1 = 1x2x116x1 x2= - 1 ，4所 以 m = - 1 ， 4m设直线ON 的方程为 y = mx (m 0) ，x2 = 4 yN由 y = mx ，解得 x1+ m21+ m2= 4m ，所 以 ON =xN = 4m，由可知，用- 11m1+ -1 24m 4m代替 m ，可 得 OM =xM =，1+116m2y = mx24m2 +1+由 x2
17、4y2 = 1，解得 xA =，所 以 OA =2 1 + m21+ m2=x A ，1+116m22 1 +1116m24m2+14m2 +1用 - 1 4m代替 m ，可得 OB =xB =ON OMOA OB1 + m24m 1m1 +116m2 2 1 + 116m214m2+1l= SDOMN =2 1 + m24m2 +1所以SDOAB14m2+14m2 + 2 +14m2=4m2 +1 = 2m + 12m 2 ，当且仅当m = 1时等号成立所以l的取值范围为2, +) .点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关 系，则可首先建立目标函数，再
18、求这个函数的最值常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 1 nn211 1 n19.【答案】（1） an = 2 ； bn = n （2）当 n 为偶数时， pn = =4 +- ； 当(n +1)211 1 n-133 2 n 为奇数时， Pn =4+-（3）证明见解析【解析】【分析】33 2 (1) 根据题意列出方程组， 求出 a1 、 q ， 从而得到an 的通项公式， 当 n 2 时，b = S - S= n +1 bn
19、bb-n-1nb ，化简可得 是首项为 1 的常数列，即可求得的nnn-12n2nn通项公式；(2)分类讨论，当 n 为偶数时， pn = (b1 + b3 + bn-1 ) + (a2 + a4 + an ) ，分别利用等差数列、等比数列的前 n项和公式求和即可，当 n 为奇数时，由 Pn = Pn-1 + bn可求得结果；(3)裂项法可得 d =2n + 5 1 =1-1，从而求得T= 1 -1n 0 ，所以 q 0 ，q = 12a4 = 2a5 + 4a6 2q2 + q -1 = 02a43= 4a21 = 4a1q，解得a = 1 1 nn2所 以 a = ， 12当 n 2 时，
20、 b = S - S= n +1 b- nbn-1 ， 即 bn =bn-1 ，nnn-12n2nn -1bn 是首项为 1 的常数列， bn = 1nn bn = n ；n, n为奇数（2） Cn= 1 n2, n为偶数当 n 为偶数时， pn = (b1 + b3 + bn-1 ) + (a2 + a4 + an )= 1+ 3 +L+ (n -1) +1 2 + 1 4 +L+ 1 n( )( )( ) 222n n1 1- 1 2 44 1-= 2 n211 1 n(1+ n -1) +21= 4 + 3 - 3 2 4(n -1)211 1 n-1(n +1)211 1 n-1当 n
21、 为奇数时， Pn = Pn-1 + bn =4+-+ n =+-（3） d =2n + 5 1 =33 2 1-1433 2 n(2n +1)(2n + 3) 2n(2n +1)2 n-1(2n + 3)2 nT = 1 - 1 + 1 -1 + L+1-1n35 25 27 22(2 n +1)2 n-1(2 n + 3)2 n= 1 -1 0 时， f ( x) 的单减区间为 0, 1 ，单增区间为 1 , + ；（2）两个；（3）0.a a【解析】【分析】（1）求出 f ( x ) ，分两种情况讨论 a 的范围，在定义域内，分别令 f ( x ) 0 求得 x 的范围，可得函数 f (
22、 x) 增区间， f ( x ) 0 求得 x 的范围，可得函数 f ( x) 的减区间；（2）当a = 1 时， 由（ 1 ） 可知，f ( x) 在 (0,1) 是单减函数， 在 (1, +) 是单增函数， 由 e2 f 1 f (1) 0 ， f (1) f (e2 ) 1时，(4k -1- lnx) x + f ( x) -1 0恒成立，(4k -1- lnx) x + x - 2 - lnx -1 0 k 0)， f ( x) = a - 1 = ax -1 .xx当 a 0 时， f ( x ) 0 时，令 f ( x) = 0 ，解之得 x = 1 .a从而，当 x 变化时， f
23、 ( x ) ， f ( x) 随 x 的变化情况如下表：x 0, 1 a 1a 1 , + af ( x )-0+f ( x)单调递减单调递增由上表中可知， f ( x) 在 0, 1 是单减函数，在 1 , + 是单增函数.a a综上，当 a 0 时， f ( x) 的单减区间为(0, +) ；当 a 0 时， f ( x) 的单减区间为 0, 1 ，单增区间为 1 , + .a a（2）当 a = 1 时，由（1）可知， f ( x) 在(0,1) 是单减函数，在(1, +) 是单增函数； e2 又 f 1 = 1e2 0 ， f (1) = -1 0 . e2 f 1 f (1) 0
24、， f (1) f (e2 ) 1时， (4k -1- lnx) x + f ( x) -1 0 恒成立 (4k -1- lnx) x + x - 2 - lnx -1 0 k 1) ，只需 k 1 F ( x)(k Z ) ；xx4min又 F ( x ) = 1 - 3+ 1 -lnx = x - 2 -lnx =f ( x ) = 0 ，xx2x2x2x2由（2）知， F ( x) = 0 在(1, +) 有且仅有一个实数根 x0 ，F ( x) 在(1, x0 )上单减，在( x0 , +) 上单增； F ( x)= F ( x ) = lnx + 3 + lnx0 (*)00minx
25、0x0又 F (3) = 1- ln3 0 ，91616 F (3) F (4) 0 ， x0 (3, 4) 且x0 - 2 - lnx0 = 0 ，即lnx0 = x0 - 2 代入(*) 式，得F ( x)= F ( x) = x- 2 +3 + x0 - 2 = x+ 1 -1, x(3, 4) .min00xx0x01x而t = x0 +0000 3 4 -1在(3, 4) 为增函数， t 7 , 13 ，即 1 F ( x)4min 7 , 13 . 12 16 而 7 , 13 (0,1) ， 1 F ( x) (0,1) ，A 12 16 4min k 0, 即所求 k 的最大值为 0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深 度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
