1、广东省湛江市第二十一中学2020-2021学年高二数学3月月考试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1复数()ABCD2.已知,则导数( )ABCD3复数对应的点在复平面的 ( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4在等差数列中,若,则的值为( )A20B10CD5函数的单调增区间是( )ABCD6若向量,且,则x( )A3B3CD7在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则角B的大小是( )A45B60C90D1358已知函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是A函数在上是增函数B是函数的极小值点CD
2、二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错项的得0分.)9下列函数在定义域上为增函数的有( )A B C D10关于椭圆,以下说法正确的是( )A长轴长为B焦距为C离心率为D左顶点的坐标为11下列函数中,最小值是4的函数有( )ABCD12设函数,下列命题,正确的是( )A函数在上单调递增,在单调递减B不等关系成立C若时,总有恒成立,则D若函数有两个极值点,则实数三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13已知复数z13bi,z212i,若是实数,则_.14.已知是等比数列,则数列前5项的和为_15
3、曲线(其中为自然对数的底数)在点处的切线方程为_.16设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为_.四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知函数.(1)求曲线在点,处的切线方程;(2)求在,上的最大值和最小值.18(12分)已知等比数列的前项和为,且.(1)求与;(2)记,求数列的前项和.19(12分)高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为、,计划沿直线BF开通穿山隧道,测得BC、D
4、E、EF三段线段的长度分别为3km、1km、2km.(1)求出线段AE的长度;(2)求出隧道CD的长度.20(12分)如图,四边形为正方形,平面,于点,交于点(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值21(12分)已知函数(1)求函数的单调区间和极值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围22(12分)已知椭圆:的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线(且)交椭圆于,两点,记直线,的斜率分别为,探究:是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由.数学答案1B 2D 3A 4D 5C 6B 7A 8C9CD 10BC 11CD 12AC对于A选项,函数的定义域为,则.由,
5、可得,由,可得.所以,函数在上单调递增,在单调递减,A选项正确;对于B选项,由于函数在区间上单调递减,且,所以,即,又,所以,整理可得,B选项错误;对于C选项,若时,总有恒成立,可得,构造函数,则,即函数为上的减函数,对任意的恒成立,即对任意的恒成立,令,其中,.当时,此时函数单调递增;当时,此时函数单调递减.所以,C选项正确;对于D选项,则,由于函数有两个极值点,令,可得,则函数与函数在区间上的图象有两个交点,当时,如下图所示:当时,即当时,函数与函数在区间上的图象有两个交点.所以,实数的取值范围是,D选项错误.13 14 15 1617解:(1)由得,.1分所以, .2分所以曲线在点,处的
6、切线方程即; .5分(2) 令可得或,此时函数单调递增,令可得,此时函数单调递减,故函数在,上单调递增,所以的最大值(2),最小值(1). .10分18解(1)由,得,当时,得; .1分当时,得, .2分所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,所以 .4分所以 .6分(2)由(1)可得,则,.7分, .9分两式相减得, .10分所以 .12分19解(1)由已知可得EF2,F45,EAF604515,.1分在AEF中,由正弦定理得:, .2分即, .3分解得; .4分(2)由已知可得BAE180306090, .5分在RtABE中, .7分所以隧道长度 .12分20(1)证明:平面,.1分,且
7、平面, .2分且,且平面,且.3分平面平面 .4分(2)解:设,则,由(1)知平面,以,为,轴建立空间直角坐标系,则,. .6分设平面,即,, .8分平面, .9分设二面角的平面角为, .11分又二面角的平面角为锐角,二面角的余弦值为 .12分21解(1)定义域为R 1分令, 令 2分令,得, ,得 4分所以函数的单调增区间为单调减区间为 5分由(1)可知,当时,函数取得极小值,函数的极小值为 当时,函数取得极大值,函数的极大值为 6分(2)若,不等式恒成立,即对于任意,不等式恒成立, 7分设,则 8分,恒成立, 9分在区间上单调递增, 11分 的取值范围是2,+) 12分22解(1)由题意得, 2分解得, 4分椭圆的方程为. 5分(2)联立,解得, 7分其中,解得.又且,或或. 8分设,则, 9分,即是定值,且定值是. 12分