1、 专题十三应用与创新专题十三应用与创新应用创新篇应用创新 一 数学与实际生活 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情境”译为数学语言找出问题的主要关系并把问题的主要关系近似化形式化抽象成数学问题再化为常规问题选择合适的数学方法求解.1.解答应用题的基本思想从熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理得出数学概念和规律通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化找到有效的解题途径构建数学模型将实际生活问题抽象为数学问题.用框图表示如下:2.解决实际问题的步骤)审题:弄清题意分清条件和结论理顺数量关系初步选择数学模型)建
2、模:将自然语言转化为数学语言将文字语言转化为符号语言利用数学知识建立相应的数学模型)解模:求解数学模型得出数学结论)还原:将数学问题还原为实际问题.例 1(全国乙 分)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作其中第一题是测量海岛的高.如图点 在水平线 上 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度称为“表高”称为“表距”和 都称为“表目距”与 的差称为“表目距的差”则海岛的高 ().表高表距表目距的差表高.表高表距表目距的差表高.表高表距表目距的差表距.表高表距表目距的差表距信息提取由四个选项结构形式可知将所求的海岛高度用已知的线段长表示出来由图可知此题使用解三角形知识解决重新读题在题
3、中寻找包含这些量的三角形“海岛的高 ”意思是将海岛的高 放在可解的三角形中在 或 中虽有但由选项可知这两个三角形中均未有给出的量“表高”“表距”“表目距”“表目距的差”故应通过作辅助线将所给的各量包含在所作的三角形中“表高”为两个直角三角形的直角边长“与”的差称为“表目距的差”即表目距的差线段 的长度称为“表距”.解题导引 题目的实际背景为海岛算经中测海岛的高的方法.读题时要抓住本题中的三个关键词“表高”“表距”“表目距的差”由 5年高考3年模拟A版高考数学选项可知将海岛的高用给出的这几个量表示出.明确考查的内容与解三角形相关后再确定要解的三角形是哪几个则需寻找这些量间的关系.从实际背景的描述
4、中通过添加辅助线构造出含有已知量的三角形通过求解这几个三角形把岛高表示出来即可最后还原回用给定的这几个量表示.解析 连接 并延长交 于点 则.设 则 .又 所以 因 为 所 以 所以 又易知 所以 表高表距表目距的差所以海岛的高 表高表距表目距的差表高(注意将各线段用专用的术语表示出来)故选.答案 应用创新 二 数学中的新定义问题 新定义问题是相对于高中教材而言的指在高中教材中不曾出现过的概念、定义、定理以及性质.它的一般形式是由命题者先给出一个新的概念新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.新定义问题的解题步骤:1.对新定义进行信息提取明确新定义
5、的名称和符号.2.理解新定义的概念、法则对新定义所提取的信息进行加工探求解决方法有时可以寻求相近知识点明确它们的共同点和不同点.3.对新定义中提取的知识进行转换有效的输出其中对新定义信息的提取和化归是解题的关键也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则直接按照运算法则计算即可如果是新定义的性质一般就要判断性质的适用性能否利用定义的外延有时也用特值排除等方法解决.例 2(多选)(新高考 分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 所有可能的取值为 且()()定义 的信息熵().().若 则().若 则()随着 的增大而增大.若 ()则()随着 的增大而增大.若 随机变量 所有可能的取值为 且(
6、)()则()()信息提取“设随机变量 所有可能的取值为”意味着题目给出一个随机变量可以取到的值形式上是一个概率问题“()()”意思是随机变量取每一个值时的概率这实际上是给出了一个分布列“定义 的信息熵()”是一个用求和符号给出的新定义可以依据求和符号的意义将其展开为()(专题十三应用与创新)通过展开式找到()与()之间的联系.解题导引 题目的实际背景虽然为概率问题但实际上是给出一个新定义“信息熵”.由所给出的四个选项可知本题实质上考查对数的运算、对数型函数的单调性及对数式的大小比较等内容四个选项引导学生由浅入深层层深入考查对数的运算及转化思想其中 选项需要构造一个函数通过导数的符号来判断函数的
7、单调性从而进行选择对于 选项需明确给出的式子“()”的含义由特殊到一 般 的 思 想 归 纳 出 其 意 义 从 而 得 到()()()()()()()()()然后再比较()、()的大小(也可用特例法).解析 对于 若 则 ()正确.对于 若 则 ()()()()()()令()()()()()()()()令 ()得 令 ()得 ()不正确.解法二:由()()得()()()()()()()()()()由 得()()不妨设 且 则()()同理()()()()()()()()()()不正确.答案 应用创新 三 数学文化 高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化为背景命制与核心考 5年
8、高考3年模拟A版高考数学点相结合的题目二是利用相关数学知识直接解答古代数学问题三是利用古代数学成果解决实际问题.解决的关键是从中提取出数学问题利用相关的数学知识进行求解.例 3(课标理 分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环向外每环依次增加 块.下一层的第一环比上一层的最后一环多 块向外每环依次也增加 块.已知每层环数相同 且 下层比中 层 多 块则三层共有扇面形石板(不含天心石)().块.块.块.块信息提取从题中体会“层”与“环”的区别与联系结合图形明确“三层且每层的环数相同”的实际意义自上而下的各环的石
9、板数下一环均比上一环多 块意味着这道题使用等差数列的知识解决且等差数列的公差为 等差数列的首项为 若设第 环扇面形石板块数为 第一层共有 环第二层为第 环至第 环第三层为第 环至第 环并且设 为 的前 项和也就是 求三层共有扇面形石板数也就是求等差数列前 项的和.解析 设第 环扇面形石板块数为 第一层共有 环则 是以 为首项 为公差的等差数列(将题中的各量用字母表示出来)()设 为 的前 项和则第一层、第二层、第三层的块数分别为 (用等差数列的前 项和表示出“上、中、下”三层的每层石板总数)因为下层比中层多 块所以 即()()()()即 解得 所以 ().故选.答案 应用创新 四 跨学科交汇
10、数学是研究数量关系和空间形式的科学高度的抽象性、结论的确定性和广泛的应用性是数学的特点.目前在高中数学教材中出现越来越多的跨学科融合试题更多的体现了数学在其他学科中的应用主要体现在平面向量、导数与物理学的应用立体几何在化学物质结构的应用排列组合在生物学中的应用等.例 4(新高考 分)卫星导航系统中地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面轨道高度为 (轨道高度指卫星到地球表面的最短距离)把地球看成一个球心为 半径 为 的球其上点 的纬度是指 与赤道所在平面所成角的度数地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的 纬度的最大值记为该卫星信号覆盖的地球表面面积 ()(单位:)则 占地球表面积的百分比约为().信息提取题目背景新颖出现较多“陌生词”可以考 专题十三应用与创新虑从所求入手.求 占 地 球 表 面 积 的 百 分 比 即 球()求解 即可.为纬度的最大值需在题中找“纬度”.根据纬度定义画出图形过 作球 竖截面的切线切点为 则 处的纬度即为 即.在 中 .轨道高度 则 .解析 如图由题意知 ()(将题中所给的几何条件通过空间几何图形表示出来找到地球表面上 点能观测到卫星点 的纬度最大值为)在 中 .又 卫星信号覆盖的地球表面面积为 ()地球表面积为 占地球表面积的百分比为().故选.答案
