1、 5年高考3年模拟A版高考数学8.4 直线、平面垂直的判定和性质基础篇考点 一 直线与平面垂直的判定和性质1.线面垂直的判定和性质)线面垂直的判定图形条件 结论)线面垂直的性质图形条件结论2.直线与平面所成的角)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.)直线 与平面 所成角 的取值范围直线 和平面 的位置关系 或 和 斜交 的取值范围 )最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角.三余弦公式:(如图所示其中 是斜线 与平面 所成的角 是斜线 的射影 与平面内的直线 的夹角 是斜线 与平面内的直线 的夹角
2、).考点 二 平面与平面垂直的判定和性质1.二面角)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.)二面角的平面角在二面角的棱上任取一点以此点为垂足在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.记此角为 当 时二面角叫做直二面角.)二面角的取值范围:.2.面面垂直的判定和性质)面面垂直的判定图形条件 且 结论)面面垂直的性质图形条件 结论知识拓展.三垂线定理及其逆定理)三垂线定理:在平面内的一条直线如果与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直那么它也与这条斜线垂直.)三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线与该平面的一条斜线垂直那么这条直线也垂直于这条
3、斜线在平面内的射影.垂直问题的转化方向图 专题八立体几何综合篇考法 一 判定或证明直线与平面垂直的方法1.利用线面垂直的判定定理：(主要方法)2.利用平行线垂直平面的传递性：3.利用面面垂直的性质定理：(主要方法)4.利用面面平行的性质：5.利用面面垂直的性质：.例 1(课标 分)如图在三棱锥 中 为 的中点.()证明:平面()若点 在棱 上且 求点 到平面 的距离.解析()证明:因为 所以 为等边三角形又 为 的中点所以且 .连接因为 所以 为 等 腰 直 角 三 角形且 .由 知.由 知 平面.()作 垂足为.由()可得 又 所以 平面.故 的长为点 到平面 的距离.由题设可知 .所以 .
4、所以点 到平面 的距离为 .考法 二 判定或证明平面与平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理：(主要方法)2.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角并计算其大小为)3.利用平行的传递性：.例 2(全 国 乙 文 分)如 图 四 棱 锥 的 底 面 是 矩 形底面 为 的中点且.()证明:平面 平面()若 求四棱锥 的体积.解析()证明:由于 平面 平面 则 又 平面 所以 平面 因为 平面 所以平面 平面.()由()知 平面 因为 平面 所以 所以 因为四边形 为矩形所以所以所以则则 5年高考3年模拟A版高考数学又 为 的中点 矩形 四棱锥 矩形 .考法 三 翻折问题的处理方法
5、解决立体几何中的翻折问题关键是搞清楚翻折前后图形中的位置关系和数量关系的变化情况以及翻折过程中运动变化的点的位置.一般地位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化.对于不变的关系一般在平面图形中处理对于变化的关系则在立体图形中解决.例 3(课标理 分)图 是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形其中 .将其沿 折起使得 与 重合连接 如图.()证明:图 中的 四点共面且平面 平面()求图 中的二面角 的大小.解析()证明:由已知得 所以 故 确定一个平面从而 四点共面.由已知得 又 故平面.又因为 平面 所以平面 平面.()作 垂足为.因为 平 面 平 面平面 所以 平面.由已知菱形 的边长为 可求得 .以 为坐标原点的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 则()()()则 ()().设平面 的法向量为()则即 所以可取 ().又平面 的法向量可取为 ()所以 .因此二面角 的大小为.
