1、4.4幂函数基础过关练题组一幂函数的概念1.下列函数是幂函数的是()A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=x122.函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0的定义域是()A.(-,1B.-,1212,1C.(-,1)D.12,13.(2020广西南宁二中期中)已知幂函数f(x)=kx的图像经过点12,22,则k+等于()A.12B.1C.32D.24.(2020山东泰安高一期末)已知幂函数y=f(x)的图像过点(3,3),则f(9)=.题组二幂函数的图像及其应用5.(2020上海青浦高一期末)幂函数y=x-2的大致图像是()6.(2020湖南衡阳二中高一上期中)函数y=x12
2、-1的图像关于x轴对称的图像大致是()7.(2020云南昆明黄冈实验学校高一月考)如图所示的曲线是幂函数y=x在第一象限内的图像.已知分别取-1,1,12,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的依次为()A.2,1,12,-1B.2,-1,1,12C.12,1,2,-1D.-1,1,2,128.(2020天津六校高一上期中联考)若幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图像关于y轴对称,则实数m=.9.已知幂函数y=xm-2(mN)的图像与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值,并画出函数的图像.题组三幂函数的性质及综合应用10.下列函数中其定义域和值域分别与函数y=2x-12的
3、定义域和值域相同的是()A.y=3xB.y=ln xC.y=2log2xD.y=2x11.(2020四川双流棠湖中学高一月考)下列函数既是奇函数,又在区间(0,+)上是减函数的是()A.f(x)=-x2B.f(x)=1x2C.f(x)=1x3D.f(x)=x312.(2019湖南常德石门一中期末)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm(mZ)在(0,+)上单调递减,若a=22-m6,b=22-1m,c=12-m,则下列不等关系正确的是()A.bacB.cbaC.cabD.bcf(a),a12,求实数a的取值范围.能力提升练一、单项选择题1.(2020四川成都高一期末,)已知函数y=ax-3-
4、23(a0,且a1)的图像恒过点P.若点P在幂函数f(x)的图像上,则幂函数f(x)的图像大致是()2.(2019山东济南一中高一上期末,)若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=4,则f 12=()A.-4B.4C.-12D.143.(2020湖南衡阳一中高一下期末,疑难1,)下列命题正确的是()A.幂函数y=xn的图像都经过(0,0),(1,1)两点B.当n=0时,函数y=xn的图像是一条直线C.如果两个幂函数的图像有三个公共点,那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数,那么图像一定经过点(-1,1)4.(2020安徽六安一中高一月考,)已知a0,b0,且y=(a+2b)x12为幂
5、函数,则ab的最大值为()A.18B.14C.12D.345.(2020北京丰台高一上期中,)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点,则正数m的取值范围是()A.(0,123,+)B.(0,13,+)C.(0,223,+)D.(0,23,+)二、多项选择题6.()已知实数a,b满足等式a12=b13,则下列关系式中可能成立的是()A.0ba1B.-1ab0C.1a0)的图像始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f(x)=x,则对于任意的x1,x20,+)有f(x1)+f(x2)2fx1+x22三、填空题8.(2020黑龙江尖山双鸭山一中高三开学考试
6、,)若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm在R上为增函数,则logm27+2lg 5+lg 4+mlogm12=.四、解答题9.(疑难2,)比较下列各组数的大小:(1)(-2)-3,(-2.5)-3;(2)-8-78,-1978;(3)4.125,3.8-23,(-1.9)35.10.()已知函数f(x)=mx2-2mx+m-1x2-2x+1(mR),试比较f(5)与f(-)的大小.11.(2020河北邯郸一中高一上期中,)若点(2,2)在幂函数f(x)的图像上,点2,12在幂函数g(x)的图像上.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;(2)定义h(x)=f(x), f(x)g(x),g(
7、x), f(x)g(x),求函数h(x)的最大值及单调区间.答案全解全析基础过关练1.Dy=2x2,y=x3+x不是幂函数;y=3x是指数函数;y=x12是幂函数.故选D.2.B依题意得1-x0,2x-10,解得x0),其定义域和值域都为(0,+),故符合题意;D中,y=2x的定义域为R,故不符合题意.故选C.11.C对于A,定义域关于原点对称,且f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x),则函数f(x)为偶函数,故A错误;对于B,定义域关于原点对称,且f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x),则函数f(x)为偶函数,故B错误;对于C,定义域关于原点对称,且f(-x)=1(-x)3=-1x3
8、=-f(x),则函数f(x)为奇函数,易知幂函数f(x)=x-3在区间(0,+)上是减函数,故C正确;对于D,定义域关于原点对称,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),则函数f(x)为奇函数,易知幂函数f(x)=x3在区间(0,+)上是增函数,故D错误.12.B由函数f(x)=(m2-m-5)xm(mZ)为幂函数,且在(0,+)上单调递减,得m2-m-5=1,m0,mZ,解得m=-2,a=22-m6=(2-12)13=2-16,b=22-1m= (2-12)12=2-14,c=12-m=(2-1)2=2-2.由于指数函数y=2x在R上为增函数,-2-14-16,因此cbf(a),得|2
9、a-1|a|,即(2a-1)2a2,即(a-1)(3a-1)0,解得13a0,b0,所以ab=12a2b12a+2b22=18,当且仅当a+2b=1,a=2b,即a=12,b=14时取等号.所以ab的最大值为18.故选A.5.B当01时,01m1,y=(mx-1)2在区间1m,1上单调递增,所以y=(mx-1)2的图像要与y=x+m的图像有且仅有一个交点,需(m-1)21+m,即m3.综上所述,正数m的取值范围是0m1或m3.故选B.二、多项选择题6.ACD画出y=x12与y=x13的图像(如图),设a12=b13=m,作直线y=m.从图像知,若m=0或m=1,则a=b;若0m1,则0ba1,
10、则1a0)的图像始终经过点(0,0)和(1,1),故C正确;对于任意的x1,x20,+),由f(x1)+f(x2)2fx1+x22,得x1+x22x1+x22,即x1+x2+2x1x24x1+x22,即(x1-x2)20,易知此式恒成立,故D正确.故选CD.三、填空题8.答案4解析由题意得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.幂函数f(x)在R上为增函数,m=3,logm27+2lg 5+lg 4+mlogm12=log327+lg 25+lg 4+3log312=log3332+lg 100+12=32+2+12=4.四、解答题9.解析(1)幂函数y=x-3在区间(-,0)上为减函数,且-
11、2-2.5,(-2)-319,18781978,从而-1878-1978,即-8-78125=1,03.8-231-23=1,(-1.9)353.8-23(-1.9)35.10.解析f(x)=mx2-2mx+m-1x2-2x+1=m(x-1)2-1(x-1)2=m-1(x-1)2=m-(x-1)-2.函数f(x)的图像可由y=x-2的图像首先做关于x轴的对称变换,然后向右平移1个单位长度,再向上平移m(m0)(或向下平移|m|(m5,f(-)=f(2+)f(5),即f(-)f(5).11.解析(1)设f(x)=x,因为点(2,2)在幂函数f(x)的图像上,所以(2)=2,解得=2,即f(x)=x2.设g(x)=x,因为点2,12在幂函数g(x)的图像上,所以2=12,解得=-1,即g(x)=x-1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图像,可得函数h(x)的图像如图所示(图中实线部分).由题意及图像可知h(x)=x2,0x1,x-1,x1.根据函数h(x)的解析式及图像可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1,单调递减区间为(-,0)和1,+).
