1、第十一章计数原理、随机变量及分布列第2课时排列与组合(对应学生用书(理)167168页)考情分析考点新知近几年高考排列与组合在理科加试部分考查，今后将会结合概率统计进行命题，考查排列组合的基础知识、思维能力，以实际问题为背景，考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大 理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. 以实际问题为背景，正确区分排列与组合，合理选用排列与组合公式进行解题.1. (选修23P17练习2改编)5人站成一排照相，共有_种不同的站法答案：120解析：5人站成一排照相，相当于五个元素的一个全排列，所以共有A
2、54321120种不同的站法2. (选修23P18习题3改编)已知9！362 880，那么A_答案：181 440解析：9！A2A，所以A181 440.3. (选修23 P24习题7改编)从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有_种不同选法答案：120解析：CCCCCC120.4. (选修23P24练习2改编)计算：CCCC_答案：210解析：原式CCCCCCC210.5. 有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张分别标有数字1、2、3、4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有_种答
3、案：432解析：分三类：第一类，4张卡片所标数字为1、2、3、4有24A384种不同的排法；第二类，4张卡片所标数字为1、1、4、4有24种不同的排法；第三类，4张卡片所标数字为2、2、3、3有24种不同的排法所以，共有3842424432种不同的排法1. 排列(1) 排列的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2) 排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示(3) 排列数公式当mn时，排列称为选排列，排列数为An(n1)(n2)(nm1
4、)；当mn时，排列称为全排列，排列数为An(n1)(n2)321上式右边是自然数1到n的连乘积，把它叫做n的阶乘，并用n！表示，于是An！进一步规定0！1，于是，An(n1)(n2)(nm1)，即A.2. 组合(1) 组合的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2) 组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示(3) 组合数公式C规定：C1(4) 组合数的两个性质：CC；CCC(5) 区别排列与组合排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元
5、素”，而不同点就是前者要“顺序”，而后者却是“并成一组”因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志题型1排列与排列数例1用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：奇数；偶数；大于3125的数解：先排个位，再排首位，共有AAA144个；以0结尾的四位偶数有A，以2或4结尾的四位偶数有AAA，共有AAAA156个；要比3125大，4、5作千位时有2A个；3作千位，2、4、5作百位时有3A个；3作千位1作百位时有2A个，所以共有2A3A2A162个用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：(解法1)用分步计数原理：所求的三位数
6、的个数是AA998648.(解法2)从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中以0为排头的排列数为A，因此符合条件的三位数的个数是AA648.题型2组合与组合数例2一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球(1) 从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2) 若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解：(1) 将取出4个球分成三类情况：第一类：取4个红球，没有白球，有C种；第二类：取3个红球1个白球，有CC种；第三类：取2个红球2个白球，有CC种CCCCC115种(2) 设取x个红球，y个白球，则得或或符合条件的取法有CCC
7、CCC186种有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有A24；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有CA36；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有CA12；所以有24361272种题型3组合数的性质例3(1) 化简：11！22！33！nn！；(2) 化简：；(3) 解方程：CC；(4) 解方程：CCA.解：(1) 由阶乘的性质知nn！(n1)！n！，所以，原式(n1)！1.(2) 原式1！1.
8、(3) 由原方程得x12x3，或x12x313， x4或x5，又由得2x8且xN*， 原方程的解为x4或x5.(4) 原方程可化为CA，即CA， ， ， x2x120，解得x4或x3.经检验：x4是原方程的解设xN， 求CC的值解： 由题意可得解得2x4. xN， x2或x3或x4.当x2时原式值为4；当x3时原式值为7；当x4时原式值为11. 所求值为4或7或11.规定C，其中xR，m是正整数，且C1这是组合数C(n、m是正整数，且mn)的一种推广(1) 求C的值；(2) 组合数的两个性质：CC，CCC是否都能推广到C(xR，mN*)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明；若不能，则说
9、明理由；(3) 已知组合数C是正整数，求证：当xZ，m是正整数时，CZ.(1) 解：CC11 628.(2) 解：CC不能推广，例如x时，有定义，但无意义；CCC能推广，它的推广形式为CCC，xR，mN*.证明如下：当m1时，有CCx1C；当m2时，有CCC.(3) 证明：当x0时，组合数CZ；当x0， C(1)m(1)mCZ.1. (2013浙江)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A、B在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)答案：480解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可当C在左边第1个位置时，有
10、A；当C在左边第2个位置时AA，当C在左边第3个位置时，有AAAA，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有480种2. (2013重庆理)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)答案：590解析：骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，则名额分配为：1，1，3；1，3，1；3，1，1或1，2，2；2，1，2；2，2，1.所以共有CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.3. (2013北京理)将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券
11、连号，那么不同的分法种数是_答案：96解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4A96种4. (2013大纲版理)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)答案：480解析：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A种方法，所以共有AA480.1. 用1、2、3、4、5、6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_(用数字作答)
12、答案：40解析：由题先排除1和2的剩余4个元素有2AA8种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有A种插法， 不同的安排方案共有2AAA40种2. 有4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有_种(用数字作答)答案：144解析：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球因此可先将球分成3堆(一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”)，然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有CA144种3. 某校现有男、女学生党员共8人，学校党委从这8人中选男生2人、女生1人分别担任学生党支部的支部书记、组织委员、宣传委员
13、，共有90种不同方案，那么这8人中男、女学生的人数分别是_、_答案：35解析：设有男生x人，女生8x人，则有CCA90，即x(x1)(8x)30，解得x3.4. 从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为_答案：120解析：先从5双鞋中任取1双，有C，再从8只鞋中任取2只，即C，但需要排除4种成双的情况，即C4，则共计C(C4)120.排列问题的几种题型：题型1解无约束条件的排列问题；题型2解有约束条件的排列问题；题型3重复排列问题对于题型1、2的排列应用问题最常用、最基本的方法是特殊位置(元素)优先法、捆绑法、插空法等等如(1) 特殊位置(元素)优先法：若以位置(元素)为主，需
14、先满足特殊位置(元素)的要求，再处理其他位置(元素)；若有两个特殊位置(元素)，则以其中一个位置(元素)为主进行分类讨论，注意做到层次分明(2) 相邻问题捆绑法：对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将这几个相邻元素“捆绑”起来，看作一个整体(元素)，与其他元素排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列(3) 不相邻问题插空法：对于几个元素不能相邻的排列问题，可以先考虑其他元素的排列，然后将这些元素安排在先前排列好的元素“空档”中，这样达到使目标元素不能相邻的目的(4) 分排问题直排处理法：若有n个元素要分成m排排列，可把每排首尾相接排成一排，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列(5) 定序问题先排后除法：对于某些固定顺序的元素在排列时，可先不考虑顺序，对全体元素作全排列，然后再除以这些固定顺序的元素的全排列
