1、综合质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A=x|-1x1,则AB=()A.(-1,1) B.(1,2)C.(-1,+) D.(1,+)解析:AB=x|-1x1=x|x-1,故选C.答案:C2.若幂函数f(x)=xm在区间(0,+)上单调递减,则实数m的值可能为()A.1B.12C.-1D.2解析:因为幂函数f(x)=xm在区间(0,+)上单调递减,所以m0,由选项可知实数m的值可能为-1.故选C.答案:C3.若x=20.2,y=lg 25,z=2575,则下列结论正确的是()A.xyz
2、 B.yzxC.zyx D.zx20=1,y=lg 25lg 1=0,0z=2575250=1,所以yz0)在同一周期内,当x=6时取最大值,当x=-3时取最小值,则的值可能为()A.12B.6C.3D.76解析:f(x)=4sin(x+)(0),由题意可知T2=6+3=2,即T=.所以T=2=,解得=2.则f(6)=4sin(26+)=4,所以=6+2k(kZ).当k=0时,=6,此时,f(-3)=-4满足题意,由此可知的一个可能值为6,故选B.答案:B5.(浙江高考)若a0,b0,则“a+b4”是 “ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3、解析:因为a0,b0,a+b4,所以ab(a+b2)2(42)2=4;反之,若ab4,不妨设a=8,b=12, 则a+b=8+124,故由“ab4”不能推出“a+b4”,故选A.答案:A6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是() A B C D解析:在汽车经过启动后的加速行驶阶段,路程随时间上升的速度越来越快,故图象的前边部分为凹升的形状;在汽车的匀速行驶阶段,路程随时间上升的速度保持不变,故图象的中间部分为线段;在汽车减速行驶之后停车阶段,路程随时间上升的速度越来越慢,故图象的后边部分为凸升的形状.分析四个选项中的
4、图象,只有A选项满足要求,故选A.答案:A7.(全国卷)tan 255=()A.-2-3 B.-2+3C.2-3 D.2+3解析:tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)= tan45+tan301-tan45tan30=1+331-133=2+3.答案:D8.若函数f(x)=|x|1-2x2x+1,x-2 021,2 021的值域是m,n,则f(m+n)=()A.22 021 B.2 0212-12 021C.2 D.0解析:f(-x)=|-x|1-2-x2-x+1=|x|2x-11+2x=-|x|1-2x2x+1=-f(x),即函数f(x)是奇函数,其图象
5、关于原点对称.因为函数f(x)在区间-2 021,2 021上的值域是m,n,且区间-2 021,2 021关于原点对称,所以m+n=0,则f(m+n)=f(0)=0,故选D.答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=x B.y=x2C.y=1x D.y=12x解析:根据题意,依次分析选项:对于选项A,y=x,是正比例函数,在区间(0,+)上单调递增,符合题意;对于选项B,y=x2,是二次函数,在区间(0,+)上单调递增,符合题意
6、;对于选项C,y=1x,是反比例函数,在区间(0,+)上单调递减,不符合题意;对于选项D,y=12x,是指数函数,在区间(0,+)上单调递减,不符合题意.故选AB.答案:AB10.已知a,b,c,d是实数,则下列一定正确的有()A.a2+b2(a+b)22B.a+1a2C.若1a1b,则abD.若ab0,cdbd解析:由于2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)20,所以a2+b212(a+b)2,故A选项正确;B选项中,当a=-1时,显然不成立,故B项错误;C选项中,当a=1,b=-1时,显然有1a1b,但ab,故C项错误;D选项中,若ab0,cd-b0,-c-d0,则
7、根据不等式的性质可知acbd0,故D项正确.故选AD.答案:AD11.(2020年新高考全国卷)已知a0,b0,且a+b=1,则()A.a2+b212 B.2a-b12C.log2a+log2b-2 D.a+b2答案:ABD12.若函数f(x)是偶函数,且f(5-x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sin x,h(x)=f(x)cos x,则下列说法正确的是()A.函数y=h(x)的最小正周期是10B.对任意的xR,都有g(x+5)=g(x-5)C.函数y=h(x)的图象关于直线x=5对称D.函数y=g(x)的图象关于点(5,0)中心对称解析:由于f(x)是偶函数,且f(5-x)=f(5+
8、x),所以函数f(x)是周期为10的周期函数,不妨设f(x)=cos 5x.对于A选项,由于h(x+5)=cos(5x+)cos(x+5)=cos 5xcos x=h(x),所以函数h(x)的最小正周期为5,故A选项说法错误;对于B选项,函数g(x)=cos 5xsin x,由于10是cos5x,sin x的周期,故10是g(x)的周期,故g(x+5)=g(x-5),故B选项说法正确;对于C选项,由于h(5-x)=cos(-5x)cos(5-x)=cos 5xcos x=h(x),结合前面分析可知h(5+x)=h(5-x),故C选项说法正确;对于D选项,g(5+x)=cos(5x+)sin(x
9、+5)=cos 5xsin x,g(5-x)=cos(-5x)sin(5-x)=-cos 5xsin x=-g(5+x),故函数g(x)关于(5,0)对称,D选项说法正确.答案:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(本题第一空2分,第二空3分)若二次函数f(x)=x2+mx-3的两个零点为1和n,则n=-3;若f(a)f(3),则a的取值范围是-5,3.解析:依题意可知f(1)=0,即1+m-3=0,所以m=2,所以f(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3),所以f(x)的另一个零点为-3,即n=-3.由f(a)f(3),得a2+2a-312,即a2+2a-15=(
10、a+5)(a-3)0,解得-5a3.14.(全国卷)已知f(x)是奇函数,且当x0,所以f(ln 2)=-f(-ln 2)= e-aln 2=(eln 2)-a =2-a =8,所以a=-3.15.(全国卷)函数f(x)=sin2x+32-3cos x的最小值为-4.解析:f(x)=sin(2x+32)-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2(cos x+34)2+178, 因为-1cos x1,所以-4f(x)178,即最小值为-4.16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a
11、的取值范围是12,32.解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,所以f(x)在区间0,+)上单调递减,则由f(2|a-1|)f(-2),得f(2|a-1|)f(2),即2|a-1|2,则|a-1|12,即12a32.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在x|a-1xa,x|axa+2,x|axa+3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中.若问题中的a存在,求a的值;若a不存在,请说明理由.已知集合A=,B=x|x2-4x+30.若“xA”是“xB”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.注:如果选择多个条件分
12、别解答,按第一个解答计分.解:由题意,知A不为空集,B=x|x2-4x+30=x|1x3.因为“xA”是“xB”的充分不必要条件,所以AB.当选条件时,a-11,a1,a3,解得2a3.所以实数a的取值范围是2,3.当选条件时,a1,a+21,a+23,不等式组无解,所以不存在a的值满足题意.当选条件时,a1,a+31,a+33,不等式组无解,所以不存在a的值满足题意.18.已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,求a的值.解:因为f(x)=x3(a2x2-2-x),所以f(-x)=-x3(a2-x-2x),因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以x3(a2x-2-x)=
13、-x3(a2-x-2x),整理得到(a-1)(2x+2-x)=0,所以a=1.19.(12分)已知aR,若关于x的不等式(1-a)x2-4x+60的解集是(-3,1).(1)解不等式2x2+(2-a)x-a0;(2)若ax2+bx+30的解集为R,求实数b的取值范围.解:(1)由题意,知1-a0,且-3和1是关于x的方程(1-a)x2-4x+6=0的两个根,则1-a0即2x2-x-30,解得x32.故不等式2x2+(2-a)x-a0的解集为(-,-1)(32,+).(2)ax2+bx+30即为3x2+bx+30,若此不等式的解集为R,则b2-4330,解得-6b6.故实数b的取值范围为-6,6
14、.20.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+)0,A0,(0,2)的部分图象如图所示,其中点P是图象的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知(2,),且sin =513,求f(2).解:(1)由图象,知函数的最大值为2,则A=2.由题图可得周期T=412-(-6)=,由2=,得=2.又由题意,知212+=2k+2,kZ,及(0,2),所以=3.所以f(x)=2sin(2x+3).(2)由(2,),且sin =513,得cos =-1-sin2=-1213,所以f(2)=2sin(22+3)=2(sin cos 3+cos sin 3)=5-12313.21.(12分)已知函
15、数f(x)=(x+1)(x-t)x2为偶函数.(1)求实数t的值.(2)是否存在实数ba0,使得当xa,b时,函数f(x)的值域为2-2a,2-2b?若存在,请求出实数a,b的值;若不存在,请说明理由.解:(1)因为函数f(x)=(x+1)(x-t)x2为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以(-x+1)(-x-t)x2=(x+1)(x-t)x2,所以t=1.(2)由(1)知f(x)=(x+1)(x-1)x2=1-1x2,所以f(x)在区间a,b上是增函数.若xa,b时,f(x)的值域为2-2a,2-2b,则f(a)=1-1a2=2-2a,f(b)=1-1b2=2-2b, 解得a=b=1.又因
16、为ba,所以不存在满足要求的实数a,b.22.(12分)(浙江高考)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=f(x+12)2+f(x+4)2的值域.解:(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0.又因为0,2),所以=2或32.(2)y=f (x+12)2+f(x+4)2=sin2(x+12)+sin2(x+4)=1-cos(2x+6)2+1-cos(2x+2)2=1-12(32cos 2x-32sin 2x)=1-32cos(2x+3).因此,函数的值域是1-32,1+32.
