1、第一章质量评估(A)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足条件M1=1,2,3的集合M的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案:B2.已知M=1,2,m2-3m-1,N=-1,3,MN=3,则m的值为()A.4 B.-1 C.1,-4 D.4,-1答案:D3.(2021年新高考全国卷)设集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,6,B=2,3,4,则A(UB)=()A.3 B.1,6 C.5,6 D.1,3答案:B4.若集合M=x|x1,N=xZ|0x4,则(RM)N等于()A.0B.0,
2、1 C.0,1,2D.2,3,4答案:B5.设x是实数,则“x0”是“|x|0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案: A6.命题“x0,都有x2-x0”的否定是()A.x00,使得x02-x0 0B.x00,使得x02-x00C.x0,都有x2-x0D.x0,都有x2-x0答案: B7.已知集合A=0,a,B=x|-1x2,且AB,则a可以是()A.-1B.0 C.1D.2答案: C8.已知集合A为实数集,则“A0,1=0”是“A=0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案: B二、选择题:本题共
3、4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知M=xR|x22,a=,下列式子正确的是()A.aM B.aMC.aM D.aM=答案: AB10.已知命题p:xR,x2+12x;命题q:若mx2-mx-10恒成立,则-4mb”是“a2b2”的充分条件C.“a5”是“am”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是m3.16.已知命题p:mR,m+10,命题q:xR,x2+mx+10恒成立,若p与q不同时为真命题,则m的取值范围是m|m-2或m-1.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤.17. (10分)已知全集U为R,集合A=x|0x2,B=x|x1.求:(1)AB;(2)(UA)(UB);(3)U(AB). 解:UA=x|x0或x2,UB=x|-3x1,AB=x|x0.(1)AB=x|1x2.(2)(UA)(UB)=x|-3x0.(3)U(AB)=x|-3x0.18. (12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)能被6整除的数一定是偶数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)矩形的对角线相等;(4)x0Z, x02=2.解:(1)本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的能被6整除的数都为偶数”,是全称量词
5、命题,且为真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且为真命题.(3) 本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的矩形的对角线都相等”,是全称量词命题,且为真命题.(4)命题中含有存在量词“”,是存在量词命题,且为假命题.19. (12分)已知集合A=x|x-1或x1,B=x|2axa+1,a1,BA,求实数a的取值范围.解：因为a1,所以2aa+1,所以B.画数轴如图所示.由BA知,a+1-1或2a1,即a-2或a12.由已知a1,所以a-2或12a1,即所求a的取值范围是(-,-2)12,1.20. (12分)已知U=R,A=x|x2+px+12=0,B=x|
6、x2-5x+q=0,若(UA)B=2,(UB)A=4,求AB.解:因为(UA)B=2,所以2B,且2A.因为A(UB)=4,所以4A,且4B.分别代入得42+4p+12=0,22-52+q=0,所以p=-7,q=6,所以A=3,4,B=2,3,所以AB=2,3,4.21. (12分)已知集合A=x|ax2-3x+1=0,aR.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解：(1)若A是空集,则方程ax2-3x+1=0无实数根.当a=0时,x=13,不符合题意,舍去;当a0时,=9-4a94.因此若A是空集,则a的取值范围是94,+.(2)若A中至多有一个元素,
7、则A=或A中只有一个元素.当A=时,由(1)知a94,+;当A中只有一个元素时,可得a=0或a0,=9-4a=0,即a=0或 a=94.综上所述,若A中至多有一个元素,则a的取值范围是aa=0或a94.22. (12分)设a,b,c为ABC中与A,B,C分别对应的三边,求证:关于x的方程 x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.证明:充分性:因为A=90,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0 可化为x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a+c)(x+a-c)=0,所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),同理另一方程x2+2cx-b2=0 也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即(x+c+a)(x+c-a)=0,所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发现,x1=x3,所以方程有公共根.必要性:设x是方程的公共根,则x2+2ax+b2=0,x2+2cx-b2=0,由+,解得x=-(a+c)或x=0.当x=0时,此时b=0,不合题意(舍去).当x=-(a+c)时,此时将x的取值代入并整理,得a2=b2+c2.所以A=90.所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.
