1、空间向量的数量积运算A级基础巩固1.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,若ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3 D.-3解析:由题意,得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.答案:B2.已知a,b是两异面直线,A,Ba,C,Db,若ACb,BDb,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为()A.30 B.60C.90 D.45解析:由题意,得ACCD,DBCD,即ACCD=DBCD=0.因为AB=AC+CD+DB,所以ABCD=(AC+CD+DB)CD=
2、CD2=1.因为cos=ABCD|AB|CD|=12,所以=60,所以直线a,b所成的角为60.答案:B3.如图,已知空间四边形每条边和对角线都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BAAC B.2ADDBC.2FGAC D.2EFCB解析:2BAAC=-a2,故A项不符合题意;2ADDB=-a2,故B项不符合题意;2EFCB=-12a2,故D项不符合题意;2FGAC=AC2=a2,故只有C项符合题意.答案:C4.已知线段AB的长度为64,AB与直线l的方向向量a的夹角为120,则AB在l上的投影向量的长度d为32.解析:d=|AB|acos1
3、20|a|=64-12=32.5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,BAA1=60,若E为棱C1D1的中点,则ABAE=14.解析:AE=AA1+AD+12AB,ABAE=ABAA1+ABAD+12AB2=43cos 60+0+1242=14.6.如图,已知线段AB平面,BC,CDBC,DF平面,且DCF=30,D与A在的同侧,若AB=BC=CD=2,试求A,D两点间的距离.解:因为AD=AB+BC+CD,所以|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2ABBC+2ABCD+2BCCD=12+2(22cos 90
4、+22cos 120+22cos 90)=8,所以|AD|=22,即A,D两点间的距离为22.B级拓展提高7.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,若(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析:因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)(AB-AC)=(AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以|AB|=|AC|,所以ABC是等腰三角形.答案:B8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,若M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所
5、成的角的大小是90.解析:设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则AB1=BB1-BA,BM=BC+12BB1,cos=(BB1-BA)BC+12BB1|AB1|BM|=0-2+2-0225=0,故异面直线AB1和BM所成的角是90.9.如图所示,在一个直二面角-AB-的棱上有A,B两点,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,若AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为229.解析:由题意,得ABAC=ABBD=ACBD=0.因为CD=CA+AB+BD=AB-AC+BD,所以CD2=(AB-AC+BD)2=AB2+AC2+BD2-2ABAC+2ABBD-2ACBD=16+3
6、6+64=116,所以|CD|=229.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c.(1)试用a,b,c表示向量 MN;(2)若BAC=90,BAA1=CAA1=60,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解:(1)MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+13B1C1=13(c-a)+a+13(b-a)=13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+21112+21112=5,所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13
7、|a+b+c|=53,即MN=53.11.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,M为VC的中点.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求.(1)证明:设VA=a,VB=b,VC=c,正四面体V-ABC的棱长为1,则VD=13(a+b+c),可得AO=16(b+c-5a),BO=16(a+c-5b),CO=16(a+b-5c),所以AOBO=136(b+c-5a)(a+c-5b)=136(18ab-9|a|2)=136(1811cos 60-9)=0,所以AOBO,即AOBO.同理,AOCO,BOCO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)解:DM=DV+VM=-13(a+b+c)+1
8、2c=16(-2a-2b+c),所以|DM|=16(-2a-2b+c)2=12.又因为|AO|=16(b+c-5a)2=22,DMAO=16(-2a-2b+c)16(b+c-5a)=14,所以cos=141222=22.所以=45. C级挑战创新12.多选题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出的结论正确的是()A.|A1A+A1D1+A1B1|2=3|A1B1|2B.A1C(A1B1-A1A)=0C.AD1与A1B的夹角为60D.此正方体体积为|ABAA1AD|解析:A项,由题意知|A1A+A1D1+A1B1|=|A1C|=3|A1B1|,所以|A1A+A1D1+A1B1|2=3|A
9、1B1|2,正确;B项,由题意知A1C(A1B1-A1A)=(A1B1+A1D1+A1A)(A1B1-A1A)=A1B12+A1B1A1D1+A1B1A1A-A1B1A1A-A1AA1D1-A1A2=0,正确;C项,由题意可求得AD1与A1B两异面直线的夹角为60,但AD1与A1B的夹角为120,错误;D项,因为ABAA1=0,所以|ABAA1AD|=0,与实际不符,错误.答案:AB13.多空题如图,若四面体ABCD的每条棱长都等于2,E,F分别为棱AB,AD的中点,则|BC-EF|=3,EF与AC所成的角为90.解析:因为EF=12BD,BDBC=22cos 60=2,所以|BC-EF|2=|BC-12BD|2=BC2-BCBD+14BD2=4-2+144=3.所以|BC-EF|=3.因为EF=12BD=12(AD-AB),所以ACEF=12AC(AD-AB)=12(ACAD-ACAB)=0.所以=90.
