1、课后素养落实(三十一)直线与直线垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1已知直线a，b，c，下列三个命题：若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若ab，a和c相交，则b和c也相交；若ab，ac，则bc其中，正确命题的个数是()A0B1C2D3A不正确如图；不正确，有可能相交也有可能异面；不正确可能平行，可能相交也可能异面2如图正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为()A30 B45 C60 D90C连接BC1，A1C1(图略)，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160故异面直线A1B
2、与AD1所成角为603在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABBC，AA1，则异面直线AC1与BB1所成的角为()A30 B45 C60 D90C连接A1C1(图略)，因为BB1AA1，所以A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角因为tanA1AC1，所以A1AC160，故选C4在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，如图所示，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A B2 C D4A取AD的中点N，连接PN，MN因为M是AC的中点，所以MNCDPB，且MNPB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MBPN，所以APN
3、为异面直线BM与PA所成的角在RtNAP中，tanAPN，故选A5在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A60 B75 C90 D105C设BB11，如图，延长CC1至C2，使C1C2CC11，连接B1C2，则B1C2BC1，所以AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)连接AC2，因为AB1，B1C2，AC2，所以ACABB1C，则AB1C290即AB1与BC1所成的角为90，故选C二、填空题6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_90如图，过点M作MEDN交CC1于
4、点E，连接A1E，则A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)设正方体的棱长为a，则A1Ma，MEa，A1Ea，所以A1M2ME2A1E2，所以A1ME90，则异面直线A1M与DN所成的角为907如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN等于_5取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN为异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN58一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD以上结论
5、中正确结论的序号为_把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确三、解答题9如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角解如图所示，取BD的中点G，连接EG，FGE，F分别为BC，AD的中点，ABCD，EGCD，GFAB，且EGCD，GFABGFE就是EF与AB所成的角，EGGFABCD，EGGFEGF90EFG为等腰直角三角形GFE45，即EF与AB所成的角为4510如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD中点求证：CD1EF证明取
6、CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBCF是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形且G为CD1的中点，DGCD1D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90CD1EF1在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A060 B060C060 D060D如图，连接CD1，AC，因为CD1BA1，所以CP与BA1所成的角就是
7、CP与CD1所成的角，即D1CP当点P从D1向A运动时，D1CP从0增大到60，但当点P与D1重合时，CPBA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是0602(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是()A15 B30C60 D75AD取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB，且EGAB，FGCD，且FGCD，由ABCD知EGFG易知GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或15
8、0由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15故EF与AB所成的角为15或753如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_60连接BC1，AD1，AB1，则EF为BCC1的中位线，EFBC1又ABCDC1D1，四边形ABC1D1为平行四边形BC1AD1，EFAD1AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角在AB1D1中，易知AB1B1D1AD1，AB1D1为正三角形，AD1B160EF与B1D1所成的角为604如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四
9、边形ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，若异面直线A1B和AD1所成的角为90，则线段AA1的长为_连接CD1，AC由题意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角异面直线A1B和AD1所成的角为90，AD1C90四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，ACD1是等腰直角三角形，AD1AC底面四边形ABCD是菱形，且ABBC2，ABC120，AC2sin 6026，AD1AC3，AA1如图，已知点P在圆柱OO1的底面O上，AA1AB，BPA1P，AB，A1B1分别为O，O
10、1的直径，且ABA1B1若圆柱OO1的体积V12，OA2，AOP120，回答下列问题(1)求三棱锥A1APB的体积；(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由解(1)由题意，得VOA2AA14AA112，解得AA13由OA2，AOP120，得BAP30，BP2，AP2，SPAB222，三棱锥A1APB的体积VSPABAA1232(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为证明如下：O，M分别为AB，AP的中点，OMBP， A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角AA13，AB4，AA1AB，A1B5又BPA1P，cosA1BP，当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为
