1、2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(五)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M=-1,0,1,N=0,1,2,则MN=() A.-1,0,1,2B.-1,0,1C.-1,0,2D.0,12.点(3,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为()A.30B.45C.60D.1203.已知a=(4,2),b=(6,y),且ab,则y的值为()A.-12B.-3C.3D.124.若ab|b|;1a1b;ab+ba2;a2b2中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知是第二象限角,sin =513,则cos
2、=()A.-513B.-1213C.513D.12136.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数是()A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2-2D.y=log12x7.不等式组x-3y+60,x-y+20,且a1)的图象恒过定点.17.等差数列an中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6=.18.某学院A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生,B专业有420名学生,则该学院C专业应抽取名学生.19.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+c
3、cos B=asin A,则A的度数为.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知向量a=cosx,-12,b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.21.如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC-A1B1C1中,点G是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BG;(2)若AB=BC,AC=2AA1,求证:AC1A1B.22.已知函数f(x)=1+1x-x(R),且f(3)=-53.(1)求的值;(2)求函数f(x)的零点;(3)判断f(x)在(-,0)上的单调性,并给予证明.答案：
4、1.A【解析】因为集合M=-1,0,1,N=0,1,2,所以MN=-1,0,1,2.2.C【解析】点(3,4)在直线l:ax-y+1=0上,3a-4+1=0,a=3,即直线l的斜率为3,直线l的倾斜角为60.3.A【解析】因为a=(4,2),b=(6,y),且ab,所以ab=0,即46+2y=0,解得y=-12.故选A.4.C【解析】对于,根据不等式的性质,可知若ab|b|,故正确;对于,若ab0,两边同除以ab,则aabbab,即1b1a,故正确;对于,若ab0,ba0,根据基本不等式即可得到ab+ba2,故正确;对于,若abb2,故不正确.故选C.5.B【解析】是第二象限角,sin =51
5、3,cos =-1-5132=-1213.故选B.6.A【解析】y=x-1是奇函数,y=log12x不具有奇偶性,故排除B,D;又函数y=x2-2在区间(0,+)上是单调递增函数,故排除C.故选A.7.B【解析】由题意可知,(0,0)在x-3y+6=0的下方,满足x-3y+60;(0,0)在直线x-y+2=0的下方,不满足x-y+20,得x2,又y=log2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-,1)上递减.故选A.11.C【解析】从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,共有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)10种,和为奇
6、数的有6种,故P=610=35.12.C【解析】将函数y=sinx-3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin12x-3,再将所得的图象向左平移3个单位,得函数y=sin12x+3-3,即y=sin12x-6.故选C.13.C【解析】可采用排除法.A中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A错误;B中直线m,n可以相交,可以平行,也可以异面,所以B错误;D中条件可推出m,n,且lm,ln,但m,n不一定相交,故不能推出l,所以D错误.故选C.14.B【解析】函数f(x)=log2x+x-2的图象在(0,+)上连续不断,f(1)=0+1-20
7、,故函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.15.A【解析】设小正方形边长为1.以A为原点,AD所在直线为x轴,与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系,那么AD=(1,0),AB=(1,2),AC=(2,-2),那么+=2,2=-2,解得=-1,=3,所以+=2.故选A.16.(1,2)【解析】当x-1=0,即x=1时,y=2.函数y=ax-1+1(a0,且a1)的图象恒过定点(1,2).17.14【解析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,所以a1=2,d=1,所以a1a6=27=14.18.40【解析】抽样比为110,而C学院的
8、学生有1 200-380-420=400(名),所以按抽样比抽取40名.19.90【解析】根据正弦定理,可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2Asin(B+C)=sin 2A,而sin(B+C)=sin A,所以sin A=sin 2A,所以sin A=1,所以A=90.20.【解】f(x)=cosx,-12(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.(1)f(x)的最小正周期为T=2=22=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x2,-62x-65
9、6.由正弦函数的性质知,当2x-6=2,即x=3时,f(x)取得最大值1.当2x-6=-6,即x=0时,f(x)取得最小值-12,因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.21.证明:(1)如图,连接AB1,交A1B于点O,连接OG.在B1AC中,G,O分别为AC,AB1的中点,OGB1C.又OG平面A1BG,B1C平面A1BG,B1C平面A1BG.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,BG平面ABC,AA1BG.G为棱AC的中点,AB=BC,BGAC.AA1AC=A,BG平面ACC1A1,BGAC1.设AC=2,则AG=1,AA1=2.在RtACC1和RtA
10、1AG中,tanAC1C=tanA1GA=2,AC1C=A1GA.又AC1C+C1AC=90,A1GA+C1AC=90,A1GAC1.BGA1G=G,AC1平面A1BG.A1B平面A1BG,AC1A1B.22.【解】(1)由f(3)=-53,得1+13-3=-53,解得=1.(2)由(1),得f(x)=1+1x-x.令f(x)=0,即1+1x-x=0,也就是x2-x-1x=0,解得x=152.经检验,x=152是1+1x-x=0的根,所以函数f(x)的零点为152.(3)函数f(x)=1+1x-x在(-,0)上是减函数.证明如下:设x1,x2(-,0),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1+1x1-x1-1+1x2-x2=(x2-x1)1x1x2+1.因为x1x20,x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)=1+1x-x在(-,0)上是减函数.
