1、微专题强化练(一)球的切、接问题(建议用时：40分钟)1直三棱柱ABC ABC的所有棱长均为2，则此三棱柱的外接球的表面积为()A12B16C28D36C由直三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r2，又由直三棱柱的侧棱长为2，则球心到圆O的球心距d，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，易得球半径R满足：R2r2d27，外接球的表面积S4R2282九章算术中，将底面积为长方形且有一条侧棱与底面积垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱PABC的四个顶点都在球O
2、的球面上，则球O的表面积为()A8 B12 C20 D24C将三棱锥PABC放入长方体中，如图，三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球因为PAAB2，AC4，ABC为直角三角形，所以BC2设外接球的半径为R，依题意可得2R22222(2)220，故R25，则球O的表面积为4R220故选：C3已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，若AB2，且四棱锥PABCD的体积为，则球O的表面积为()A25 B C D5A设正四棱锥底面的中心为O1，连接PO1，OA，O1A，则有PO1(2)2，可得PO14设外接球的半径为R，在RtOO1A中，OO14R，O1A2，则有(4R)222R2，解得R
3、，所以球O的表面积为4R2425故选A4如图，长方体ABCDABCD中，AB12，BC10，AA6，过AD作长方体的截面ADEF使它成正方形求三棱柱AAFDDE的外接球的表面积解(1)因为截面ADEF为正方形，所以ADAFBC10，在RtAAF中，AA2AF2AF2，即62AF2102，解得AF8，在直三棱柱AAFDDE中，底面积RtAAF的外接圆半径为AF105，直三棱柱AAFDDE的外接球球心的到平面AAF的距离为105，设三棱柱的外接球半径为R，则R5，所以三棱柱AAFDDE的外接球的表面积S4R22005正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积
4、解如图，球O是正三棱锥PABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径RPH是正三棱锥的高，即PH1设E是BC的中点，连接PE，AE，H在AE上，ABC的边长为2，HE2，PE，可以得到SPABSPACSPBCBCPE3，SABC(2)26，VP ABCVO PABVO PACVO PBCVO ABC，613R36R，解得R2，S球4R24(2)28(52)V球R3(2)36已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PBa，PDa，PAPCa，且PD是四棱锥的高(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；(2)求四棱锥外接球的半径解(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半
5、径最大，即球心到各面的距离均相等设球的半径为R，球心为S，如图，连接SA，SB，SC，SD，SP因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S PAB，S PBC，S PCD，S PAD与四棱锥S ABCD的高都为R，且它们恰好组成四棱锥P ABCD因为PD为四棱锥P ABCD的高，PDADBCa，四边形ABCD为正方形，且PAPCa，PBa，所以PB2PA2AB2PC2BC2，所以PAB，PCB为直角三角形且全等，所以SPABSPBCaaa2，SPDASPDCa2，S正方形ABCDa2，所以VP ABCDa2aa3，VS PABVS PBCa2Ra2R，VS PDAVS PDCa2Ra2R，VS ABCDa2Ra2R因为VP ABCDVS PABVS PBCVS PDAVS PDCVS ABCD，所以a3a2Ra2Ra2R，即(2)Ra，所以Ra，即球的最大半径为a(2)由(1)知PAB，PCB为直角三角形，若M为斜边PB的中点，则MAMBMPMC连接BD，因为PDa，PBa，BDa，所以PB2PD2BD2，即PDB为直角三角形，且PB为斜边，所以MDMBMP，所以M为四棱锥PABCD外接球的球心，所以四棱锥外接球的半径RPBa
