1、广东省湛江一中2012届高三12月月考试题(数学理)考试时间:120分钟 满分:150分一 选择题:(每小题5分,共40分,每题只有一个选项正确)1. 若,则下列选项正确的是( )A B C D 2. “”是“”的( )充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件3. 函数是( )A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数4. 若,且,则向量的夹角为 ( ) A. 45 B. 60 C. 120 D.1355. 有如下三个命题:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;过平面的一条斜
2、线有一个平面与平面垂直;其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D36. 等于 ( )A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上是减函数,则的最小值是( )A. B. C.2 D. 38已知集合.现给出下列函数:,若 时,恒有,则所有可取的函数的编号是( )A. B. C. D. 二填空题(本大题共6个小题,每小题5分,满分30分)9. 已知复数(i为虚数单位),则复数在复平面上所对应的点位于第 象限. 10. . 11. 已知向量,则 .12. 不等式的解集为 . 13.函数的图象如右图所示,则的表达式是 .14. 如图,在正方形中,已知,为的中点,若为正方形内(含边界)任意一点,则
3、的取值范围是 . 三解答题(本大题共6个小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15.(本小题满分12分)已知二次函数满足条件,及。(1)求函数的解析式;(2)求在上的最值。16. (本小题满分12分)在中,是角,的对边,若,且,(1)求的面积;(2)若,求和的值17.(本小题满分14分)已知等差数列的前项和为,且,。 (1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和18(本小题满分14分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=90,AC=BC=AA1=1,D、E分别为棱AB、BC的中点,M为棱AA1上的点。 (1)证明:A1B1C1D; (2)当的大小。19.(本
4、小题满分14分)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心、正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OMR ,OB与OM之间的夹角为.(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.(2)若 R45 m,求当为何值时,矩形ABCD的面积S有最大值?ABCDMOPQF其最大值是多少?20. (本小题满分14分)已知函数对于任意都有且当时,有。(1) 判断的奇偶性与单调性,并证明你的结论;(2) 设不等式对于一切恒成立,求整数的最小值。 参考答案
5、三解答题(本大题共6个小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15.(本小题满分12分)已知二次函数满足条件,及。(1)求的解析式;(2)求在上的最值。解:(1)由,可设。 2分则由,可得, 4分即,解得。故得解析式为 6分(2) 8分又当时有最小值时有最大值3。 12分16. (本小题满分12分)在中,是角,的对边,若,且,(1)求的面积;(2)若,求、解: (1)B60,ac=8 4分SABC=6分(2) B60,8分, ac=8,=20, =610分a=2,=4或a=4,=2 12分17.(本小题满分14分)已知等差数列的前项和为,且,。 (1)求数列的通项公式;(2)
6、若数列满足,求数列的前项和解:(1)设公差为,由题意得: 2分解得: 4分故 6分 (2)由(1)得 10分 数列是以2为首项,16为公比的等比数列。 14分18 。(本小题满分14分)在三棱柱ABCA1B1C1中,平面,ACB=90,AC=BC=AA1=1,D、E分别为棱AB、BC的中点,M为棱AA1上的点。 (1)证明:A1B1C1D; (2)当的大小。(1)证明:因为C1C平面ABC,所以C1D在底面内的射影为CD,又AC=BC,D为中点,所以CDAB,则C1DAB,又A1B1/AB,所以A1B1C1D 6分(2)过A做AHDE交ED的延长线于H,连接MH,由MA平面ABC,AH为MH在
7、底面ABC内的射影,易得,MHDE,则MHA为二面角MDEA的平面角。 10分 法二:(1)以C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz,则则 6分 (2)19.(本小题满分14分)ABCDMOPQF如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OMR ,OB与OM之间的夹角为. ()将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.()若 R45 m,求当为何值时,矩形ABCD的面积S有最大值?其最大值是多少?解:
8、()由题意可知,点M为的中点,所以.设OM于BC的交点为F,则,. 4分所以 ,8分()因为,则.10分所以当,即 时,S有最大值. .故当时,矩形ABCD的面积S有最大值m2. 14分20. (本小题满分14分)已知函数对于任意都有,且当时,有。(3) 判断的奇偶性与单调性,并证明你的结论;(4) 设不等式对于一切恒成立,求整数的最小值。解:(1)令,得,解得令得,所以,是奇函数。 3分设,则,由条件得,因此,所以,在上为减函数。 6分(2)由,得,因此,所以原不等式可化为;当时,由数学归纳法可证得下面用数学归纳法证明。()。当时,左边=右边,等式成立。假设时等式成立,即。 当时, 这说明当时等式也成立。 根据、可知,对任意,均有成立。当时,式显示成立;当时,由奇函数性质可证明式也成立;所以,有,由单调性得,对于恒成立。10分解法一:由恒成立,令。由基本不等式可得,因此,又由,得。 14分解法二:设,对于恒成立。若,此时无解;若。若。综上可得:又,所以。 14分解法三:由已知易得,令,得,因此,即,又由于可取到,所以。 14分