1、广东省湛江一中2012届高三12月月考试题（数学理）考试时间：120分钟 满分：150分一 选择题：（每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）1. 若，则下列选项正确的是（ ）A B C D 2. “”是“”的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件3. 函数是（ ）A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数4. 若，且，则向量的夹角为 （ ） A. 45 B. 60 C. 120 D.1355. 有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜
2、线有一个平面与平面垂直；其中正确命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D36. 等于 （ ）A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是（ ）A. B. C.2 D. 38已知集合.现给出下列函数：，若 时，恒有，则所有可取的函数的编号是（ ）A. B. C. D. 二填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分）9. 已知复数(i为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于第 象限. 10. . 11. 已知向量，则 .12. 不等式的解集为 . 13.函数的图象如右图所示，则的表达式是 .14. 如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则
3、的取值范围是 . 三解答题（本大题共6个小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）已知二次函数满足条件，及。（1）求函数的解析式；（2）求在上的最值。16. （本小题满分12分）在中，是角，的对边，若,且，（1）求的面积；（2）若，求和的值17.（本小题满分14分）已知等差数列的前项和为，且，。 （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和18（本小题满分14分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点。 （1）证明：A1B1C1D； （2）当的大小。19.（本
4、小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心、正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OMR ，OB与OM之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.（2）若 R45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？ABCDMOPQF其最大值是多少？20. （本小题满分14分）已知函数对于任意都有且当时，有。（1） 判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；（2） 设不等式对于一切恒成立，求整数的最小值。 参考答案
5、三解答题（本大题共6个小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）已知二次函数满足条件，及。（1）求的解析式；（2）求在上的最值。解：（1）由，可设。 2分则由,可得， 4分即，解得。故得解析式为 6分（2） 8分又当时有最小值时有最大值3。 12分16. （本小题满分12分）在中，是角，的对边，若,且，（1）求的面积；（2）若，求、解： (1)B60,ac=8 4分SABC=6分(2) B60,8分, ac=8,=20, =610分a=2,=4或a=4,=2 12分17.（本小题满分14分）已知等差数列的前项和为，且，。 （1）求数列的通项公式；（2）
6、若数列满足，求数列的前项和解：（1）设公差为，由题意得： 2分解得： 4分故 6分 （2）由（1）得 10分 数列是以2为首项，16为公比的等比数列。 14分18 。（本小题满分14分）在三棱柱ABCA1B1C1中，平面，ACB=90，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点。 （1）证明：A1B1C1D； （2）当的大小。（1）证明：因为C1C平面ABC，所以C1D在底面内的射影为CD，又AC=BC，D为中点，所以CDAB，则C1DAB，又A1B1/AB，所以A1B1C1D 6分（2）过A做AHDE交ED的延长线于H，连接MH，由MA平面ABC，AH为MH在
7、底面ABC内的射影，易得，MHDE，则MHA为二面角MDEA的平面角。 10分 法二：（1）以C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz，则则 6分 （2）19.（本小题满分14分）ABCDMOPQF如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OMR ，OB与OM之间的夹角为. （）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.（）若 R45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？解：
8、（）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，. 4分所以 ，8分（）因为，则.10分所以当，即 时，S有最大值. .故当时，矩形ABCD的面积S有最大值m2. 14分20. （本小题满分14分）已知函数对于任意都有，且当时，有。（3） 判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；（4） 设不等式对于一切恒成立，求整数的最小值。解：（1）令，得，解得令得，所以，是奇函数。 3分设，则，由条件得，因此，所以，在上为减函数。 6分（2）由，得，因此，所以原不等式可化为；当时，由数学归纳法可证得下面用数学归纳法证明。（）。当时，左边=右边，等式成立。假设时等式成立，即。 当时， 这说明当时等式也成立。 根据、可知，对任意，均有成立。当时，式显示成立；当时，由奇函数性质可证明式也成立；所以，有，由单调性得，对于恒成立。10分解法一：由恒成立，令。由基本不等式可得，因此，又由，得。 14分解法二：设，对于恒成立。若，此时无解；若。若。综上可得：又，所以。 14分解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。 14分