1、 2015高考最后一卷理科数学(第三模拟）第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，为虚数单位，若 为实数，则= （ ） A1 B C D2. 设全集,，则图中阴影部分表示的集合为 （ ）A B C D3. 若抛物线的焦点坐标为，则 （ ） A1 B C2 D4. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 （ ） A9 B8 C7 D6 5.设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是 （ ） A. B C D6. 在平面直角坐标系中，由轴的正半轴，轴的正半轴、曲线以及该曲线在处的切 线所
2、围成的封闭图形的面积是 （ ） A B C D 开 始 结 束7. 执行如图所示的程序框图，若，取则输出的值为 （ ） A B C D8. 已知函数 在处取得最大值，则函数是 （ ） A偶函数且它的图像关于点对称 B偶函数且它的图像关于点对称 C奇函数且它的图像关于点对称 D奇函数且它的图像关于点对称 9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形 则该几何体的表面积为 （ ） A B C D10. 已知函数，若关于的方程 在区间内有两个实数解，则 实数的取值范围是 （ ） A B C D11. 已知正三棱锥中分别是,的中点，若,则三棱锥的 外接球的
3、表面积 （ ） A B C D12. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是 （ ） A B C D2 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，如果向量与垂直，则的值为 .14. 公安部新修订的机动车登记规定正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式 进行编排，某人欲选由A, B, C, D, E中的两个字母，和1, 2， 3， 4， 5中的三个不同数字（三个数字 都相邻）组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为
4、 . 15. 设锐角三角形的三个内角、所对的边分别为、若，则的取值 范围为 .16. 设函数，其中,对于任意的正整数（），如果不等式 在区间上有解，则实数的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，且，成等比数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列的前项和为，求证：.18. （本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2014年4月20日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下统计表（如图1）： 若网购金额超过2千元的顾
5、客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2.(1) 试确定的值，并补全频率分布直方图（如图2）.(2) 该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法抽取10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中，侧面底面，,底面为直角梯形，其中,为的中点. (1) 求证：；(2) 求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知圆:,点为直线：上的动点.(1) 若从点作圆的切
6、线，点到切点的距离为，求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；(2) 若,直线,与圆的另一个交点分别为,求证：直线经过定点21.（本小题满分12分）设函数，其中.(1) 求函数的单调区间；(2) 证明：当时，对于任意的，且都有. 四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的圆交于，连接并延长交于点.(1) 求证：为的中点；(2) 求线段的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参
7、数方程在平面坐标系中，曲线的参数方程为 ，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.(1) 求曲线的普通方程和的直角坐标方程；(2) 若点,在曲线上，求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设关于的不等式 的解集为，且,. (1) 对于任意的,恒成立，且,求的值； (2) 若求的最小值，并指出取得最小值时的值.第III卷（参考答案）一、 选择题 1. B 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D 7. A 8.B 9.B 10.A 11.B 12.A二、 填空题 13. 14.3600 15. 16.三、 解答题 17.（1） （2）由（1）得， ，又因为可知是 递增数列，所以,所以 18.（1）， （2） 19.（1）证明（舍） （2） 20.（1） （2）经过定点 21.（1）当时在上单调递增 当时在上单调递增，在上单 调递减 当时，在上单调递增 （2）证明（舍） 22.（1）证明（舍） （2） 23.（1） （2） 24.（1） （2）
