1、江苏省南京市江宁高级中学2014-2015学年高二（下）期末数学模拟试卷（理科）一、填空题（每题5分，共70分）1已知集合U=R，集合M=y|y=2x，xR，集合N=x|y=lg（3x），则（UM）N=2若1+2ai=（1bi）i，其中a、bR，i是虚数单位，则|a+bi|=3某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为4某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用
2、最简分数表示）5以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为6执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内处应填的整数为7在直角坐标系中，不等式组表示平面区域面积是4，则常数a的值8（文科）已知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为9“”是“不等式2x25x30成立”的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）10在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是11在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为12在ABC中，若BC
3、AC，AC=b，BC=a，则ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体SABC的外接球半径R=13已知椭圆C：+=1（ab0）和圆O：x2+y2=，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足APB=60，则椭圆C的离心率取值范围是14已知函数，将集合A=x|f（x）=t，0t1（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为二、解答题（共6大题，共90分）15在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学所得成绩，且前5位同学
4、的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率16如图，在四面体ABCD中，AD=BD，ABC=90，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG平面BCD求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD平面ABC17如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点（）若PAB=30，求以MN为直径的圆方程；（）当点P变化时，求证：以M
5、N为直径的圆必过圆O内的一定点18如图，储油灌的表面积S为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径（1）试用半径r表示出储油灌的容积V，并写出r的范围（2）当圆柱高h与半径r的比为多少时，储油灌的容积V最大？19已知椭圆的焦距为4，设右焦点为F1，离心率为e（1）若，求椭圆的方程；（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围20已知函数（I）判断函数f（x）的单调性；（）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（）若函数f（x
6、）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值江苏省南京市江宁高级中学2014-2015学年高二（下）期末数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分）1已知集合U=R，集合M=y|y=2x，xR，集合N=x|y=lg（3x），则（UM）N=（，0考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：M=y|y=2x，xR=y|y0，N=x|y=lg（3x）=x|3x0=x|x3则UM=y|y0则（UM）N=y|y0故答案为：（，0点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2若1+2
7、ai=（1bi）i，其中a、bR，i是虚数单位，则|a+bi|=考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：首先由已知复数相等得到a，b，然后求模解答：解：因为1+2ai=（1bi）i=b+i，所以b=1，a=，所以|a+bi|=|+i|=；故答案为：点评：本题考查了两个复数相等以及求复数的模；属于基础题3某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为21考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：先求出每个个体被抽到的概率 ，再用高三的总人数乘以此概率，即
8、得所求解答：解：每个个体被抽到的概率等于 =，则应从高三年级中抽取的人数为 1050=21，故答案为 21点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题4某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：利用组合的方法求出有3人上场比赛的所有方法和甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的方法，利用古典概型的概率公式求出概率解答：解：有3人上场比赛的所有方法有C83=56有C63=20由
9、古典概型的概率公式得甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 =故答案为：点评：求一个事件的概率，关键是先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算5以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质 专题：计算题分析：先根据椭圆的标准方程求出椭圆的顶点和焦点，从而得到双曲线的焦点和顶点，进而得到双曲线方程解答：解：椭圆 的顶点为（2，0）和（2，0），焦点为（1，0）和（1，0）双曲线的焦点坐标是（2，0）和（2，0），顶点为（1，0）和（1，0）双曲线的a=1，c=2b=双曲线方程为 故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程、双曲线和椭圆的性质和应
10、用，解题时要注意区分双曲线和椭圆中数量关系的区别6执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内处应填的整数为4考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件解答：解：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=23+1=7，a=3；第三次循环b=27+1=15，a=4；第四次循环b=215+1=31，a=5输出的b的值为31，跳出循环的a值为5，判断框内的条件是a4，故答案为：4点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题
11、的常用方法7在直角坐标系中，不等式组表示平面区域面积是4，则常数a的值0考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象，找出对应的平面区域，利用面积是9，可以求出a的数值解答：解：由图象可知不等式对应的平面区域为三角形BCD由解得，即C（2，2）由题意知a2由得，即D（a，a）由得，即B（a，a+4），所以|BD|=|2a+4|=2a+4，C到直线x=a的距离d=a（2）=a+2，所以三角形BCD的面积为，即（a+2）2=4，解得a=0或a=6（舍去）故答案为：0点评：本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键8（文科）已
12、知函数f（x）=a+是奇函数，则实数a的值为考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得f（x）=f（x），即a+=a，即2a=1，由此求得a的值解答：解：函数f（x）=a+是奇函数，可得f（x）=f（x），即 a+=a，即2a=1，解得 a=，故答案为 点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，属于基础题9“”是“不等式2x25x30成立”的充分不必要条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据不等式的解法求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：
13、解：由2x25x30，得（x3）（2x+1）0，解得，“”是“不等式2x25x30成立”的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键10在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是考点：几何概型 专题：计算题分析：本题考查的知识点几何概型，我们可以求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案解答：解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形A
14、BC的面积S三角形=4=满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示则S阴影=则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是P=故答案为：点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解11在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为4考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的
15、定义、性质与方程分析：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案解答：解：依题意可知抛物线的准线方程为y=点A与抛物线焦点的距离为3，纵坐标为1，点A到准线的距离为+1=3，解得p=4抛物线焦点（0，2），准线方程为y=2，焦点到准线的距离为：4故答案为：4点评：本题主要考查了抛物线的定义的运用考查了学生对抛物线基础知识的掌握属基础题12在ABC中，若BCAC，AC=b，BC=a，则ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体SAB
16、C的外接球半径R=考点：进行简单的合情推理 专题：压轴题；探究型分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，ABC中，若BCAC，AC=b，BC=a，则ABC的外接圆半径，我们可以类比这一性质，推理出在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体SABC的外接球半径R=解答：解：由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质由已知在平面几何中，ABC中，若BCAC，A
17、C=b，BC=a，则ABC的外接圆半径，我们可以类比这一性质，推理出：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体SABC的外接球半径R=故答案为：点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）13已知椭圆C：+=1（ab0）和圆O：x2+y2=，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足APB=60，则椭圆C的离心率取值范围是考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用条件判断出O、P、A、B四点共圆，由三角函数求
18、得|OP|的长，根据|OP|的范围和椭圆离心率、性质，列出不等式求出椭圆的离心率的取值范围解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，APB=60，APO=BPO=30，在直角三角形OAP中，AOP=60，|OA|=cosAOP=，则|OP|=，b|OP|a，ba，3b2a2，即3（a2c2）a2，2a23c2，则，即e，又0e1，则e1，故答案为：点评：本题考查椭圆的离心率，四点共圆的性质，及三角函数的概念，考查转化思想，属于中档题14已知函数，将集合A=x|f（x）=t，0t1（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为52考点：函数的零点与方程根的关系 专题：
19、函数的性质及应用分析：通过分类讨论当1x2时，f（x）=x1，由x1=t，解得x=1+t；当2x3时，f（x）=3x，由3x=t，解得x=3t；当3x6时，1，则f（x）=3（）=x3，由x3=t，解得x=3+t；当6x9时，f（x）=9x，由9x=t，解得x=9t；当9x18时，则f（x）=3=x9，由x9=t，解得x=9+t；当18x27时，则f（x）=27x，由27x=t，解得x=27t即可得到答案解答：解：当1x2时，f（x）=x1，由x1=t，解得x=1+t；当2x3时，f（x）=3x，由3x=t，解得x=3t；当3x6时，1，则f（x）=3（）=x3，由x3=t，解得x=3+t；当
20、6x9时，f（x）=9x，由9x=t，解得x=9t；当9x18时，则f（x）=3=x9，由x9=t，解得x=9+t；当18x27时，则f（x）=27x，由27x=t，解得x=27t因此将集合A=x|f（x）=t，0t1（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和=（1+t）+（3t）+（3+t）+（9t）+（9+t）+（27t）=52故答案为52点评：熟练掌握含绝对值符号的函数如何去掉绝对值符号、分类讨论的思想方法、函数的交点等是解题的关键二、解答题（共6大题，共90分）15在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如
21、下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果解答：解：（1）根据平均
22、数的个数可得75=，x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P=0.4点评：本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目16如图，在四面体ABCD中，AD=BD，ABC=90，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG平面BCD求证：（1）EF=BC；（2）平
23、面EFD平面ABC考点：平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用平面与平面平行的性质，可得EGBD，利用G为AD的中点，可得E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，即可证明EF=BC；（2）证明AB平面EFD，即可证明平面EFD平面ABC解答：证明：（1）因为平面EFG平面BCD，平面ABD平面EFG=EG，平面ABD平面BCD=BD，所以EGBD，（4分）又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以EF=BC（7分）（2）因为AD=BD，由（1）知，E为AB的中点，所以ABDE，又ABC=90，即ABBC，由（1）知，EFBC，所以ABE
24、F，又DEEF=E，DE，EF平面EFD，所以AB平面EFD，（12分）又AB平面ABC，故平面EFD平面ABC（14分）点评：本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点（）若PAB=30，求以MN为直径的圆方程；（）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：（）建立如图所示的直角坐标系，由条件求得M、N两点的坐标，即可求
25、得以MN为直径的圆的方程（）设点P的坐标为（x0，y0），求得 M（4， ）、N（4，），以及MN的值，求得MN的中点，坐标为（4，），由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2，化简可得结果解答：解：（）以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如直角坐标系，由于O的方程为x2+y2=4，直线L的方程为x=4，PAB=30，点P的坐标为（1，），lAP：y= （x+2），lBP：y=（x2）将x=4代入，得M（4，2），N（4，2）MN的中点坐标为（4，0），MN=4以MN为直径的圆的方程为（x4）2+y2=12同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是 （x4）2+y2=1
26、2（6分）（）设点P的坐标为（x0，y0），则 +=4 （y00），=4直线AP：y=（x+2），直线BP：y=（x2），将x=4代入，得 yM=，yN=M（4， ）、N（4，），MN=|=，故MN的中点坐标为（4， ）以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2=4 为定值再根据以MN为直径的圆O的半径为2，AB的中点O到直线MN的距离等于4，故O为线段MN的中点，可得O必过O 内定点（42，0）点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题18如图，储油灌的表面积S为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径（1）试用半径r表示出储油灌的容
27、积V，并写出r的范围（2）当圆柱高h与半径r的比为多少时，储油灌的容积V最大？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：应用题；导数的综合应用分析：（1）由表面积S为定值，用r表示出h，可得储油灌的容积V及r的范围；（2）求导函数，确定函数的极大值即最大值，即可得出结论解答：解：（1）S=2r2+2rh+r2=3r2+2rh，（3分）=； （7分）（2），令V=0，得，列表rV（r）+0V（r）极大值即最大值（11分）当时，体积V取得最大值，此时，h：r=1：1（13分）答：储油灌容积，当h：r=1：1时容积V取得最大值（15分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生利用数
28、学知识解决实际问题的能力，确定函数解析式是关键19已知椭圆的焦距为4，设右焦点为F1，离心率为e（1）若，求椭圆的方程；（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的焦距为4，求出几何量，即可求椭圆的方程；（2）设出A的坐标，利用AF1的中点为M，BF1的中点为N，求出M、N的坐标，根据原点O在以线段MN为直径的圆上，可得OMON，从而可得结论；直线方程与椭
29、圆、圆联立，表示出k，根据，即可求e的取值范围解答：解：（1）由题意，c=2，a=2，=2椭圆的方程为；（2）证明：设A（x，y）则B（x，y）因为椭圆的方程为，所以右焦点F1（2，0），M（，），N（，），原点O在线段MN为直径的圆上，OMON，x2+y2=4，点A在定圆上解：由，可得，将e=，b2=a2c2=，代入上式可得，0e1e点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题20已知函数（I）判断函数f（x）的单调性；（）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同
30、，求实数m的值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；综合题分析：（1）先对函数进行求导运算，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减，可求得单调区间（2）将将函数f（x）的解析式代入，可将问题转化为不等式对于x0恒成立，然后g（x）=lnx+后进行求导，根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数g（x）的最小值，从而得到答案（3）将函数f（x）与的图象有公共点转化为有解，再由y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同可得到同时成立，进而可求出x0的值，从而得到m的值解答：解：（）可得当0xe时，f（x）0，f（x）为增函数；当ex时，f（x）0，f（x）为减函数（）依题意，转化为不等式对于x0恒成立令g（x）=lnx+，则g（x）=当x1时，因为g（x）=0，g（x）是（1，+）上的增函数，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）是（0，1）上的减函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（，1）（）转化为，y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同由题意知解得：x0=1，或x0=3（舍去），代入第一式，即有点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减
