1、江苏省南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试（三模）试题(满分：150分考试时间：120分钟)一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合Ax|log2(x1)1，Bx21x，则AB()A. (，2 B. 1，2 C. (1，2 D. (1，32. 已知复数z3i，则|z|()A. 5 B. C. D. 33. 设a3，blog43，c4，则()A. cba B. acbC. cab D. abc4. 已知点A(1，1)，B(7，5)，将向量绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为(
2、)A. (5，5) B. (3，7)C. (5，5) D. (3，7)5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是()A. 32 B. 16 C. 5 D. 46. 已知双曲线E: 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且F1AF2120，AF22AF1，则双曲线E的离心率为()A. B. C. D. 77. 在数1和3之间插入n个实数，使得这n2个数构
3、成等差数列，将这n2个数的和记为bn，则数列的前78项和为()A. 3 B. log378 C. 5 D. log388. 已知函数f(x)21n xx2ex1.若存在x00，使f(x0)ax0，则a的最大值为()A. 0 B. 1C. 1e D. 1e2二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分9. 在ABC中，M是BC的中点若a, b，则|()A. |ab|B. |ab|C. D. 10. 在(2x2)6的展开式中，下列说法正确的是()A. 各项系数和为1 B. 第2项的二项式系数为
4、15C. 含x3项的系数为160 D. 不存在常数项11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：|x|n|y|n1，则下列说法正确的是()A. 曲线C关于原点成中心对称B. 当n2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C. 当n0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为D. 当n0时，曲线C所围成图形的面积小于412. 已知菱形ABCD的边长为2, ABC，将DAC沿着对角线AC折起至DAC，连接BD.设二面角DACB的大小为，则下列说法正确的是()A. 若四面体DABC为正四面体，则B. 四面体DABC的体积最大值为1C. 四面体
5、DABC的表面积最大值为2(2)D. 当时，四面体DABC的外接球的半径为三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a4，b6，cos B，则sin A_14. 为了解某小区居民的家庭年收入x(万元)与年支出y(万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ybxa已知x20, y16，b0.76.若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为_万元15. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，当x0，1时，f(x)x2，则直线
6、yx与函数yf(x)的图象的交点的个数为_16. 若矩形ABCD满足，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图所示的黄金矩形卡片ABCD，已知AD2x，AB2y，E是CD的中点，EFCD，FGEF，且EFFGx，沿EF，FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图所示的几何模型若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正_面体；若y2，则该正多面体的表面积为_(本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)设各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn，S735，且a1，a41，a7成等比数列(1
7、) 求数列an的通项公式；(2) 若数列bn满足bnbn1an，求数列bn的前2n项和T2n.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)3sin (2x)(0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，ABCD.(1) 若，求实数m的值；(2) 设AC与BD相交于点G，GAD与GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)asin2xx.(1)若x是f(x)的一个极值点，试讨论f(x)在区间(0，)上的单调性；(2) 设2a2，证明：当x0时，xf(x)0.20202021学年高三年级模拟考试卷(南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港)数学
8、参考答案及评分标准1. C2. B3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. BC10. AC11. ABD12. BCD13. 14. 23.615. 716. 二十1204017. 解：(1) 设数列an的公差为d(d0)，则S77a435，即a45，(1分)所以a1a43d53d，a7a43d53d.因为a1，a41，a7成等比数列，所以(a41)2a1a7，即42(53d)(53d)，解得d1(舍去)或d1，(3分)所以ann1.(5分)(2) 因为bnbn1an，所以T2nb1b2b3b4b2n1b2n(b1b2)(b3b4)(b2n1b2n)a1a3a2n1(8分)n2n
9、.(10分)18. 解：(1) 满足题意的2个条件的序号为.(1分)由条件知，3sin (2)0，所以2k(kZ)，即k(kZ).因为0，所以.(3分)由条件知，3sin (2)3，所以22k(kZ)，即2k(kZ).因为0，所以.(5分)由条件知，sin ，即2k或2k(kZ).因为0，所以.综上，满足题意的2个条件的序号为.(7分)(2) 由(1)知，f(x)3sin (2x)，所以g(x)3sin (2x)6cos2x3(sin2x cos cos 2x sin )6sin 2xcos 2x33sin (2x)3. (10分)因为1sin (2x)1，所以0g(x)6，所以函数g(x)的
10、值域为0，6.(12分)19. 解：(1) 由题知，的可能取值为0，1，2，3，H(4，3，10).P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，(4分)所以的概率分布为0123P所以的数学期望E()01231.2.(6分)另法：因为H(4，3，10)，数学期望E()1.2.(7分)(2) 记“至少有一个零件直径大于124 mm”为事件A，因为XN(120，4)，所以120，2，(8分)所以P(X124)0.022 75，所以P(X124)10.022 750.977 25，(10分)所以P(A)10.977 251010.794 40.205 6.答：至少有一件零件直径大于124 mm的概率为0.
11、205 6.(12分)20. (1) 证明：因为平面BCD平面ABD，平面BCD平面ABDBD，BCBD，BC平面BCD，所以BC平面ABD.又AD平面ABD，所以BCAD.(2分)因为A是以BD为直径的半圆O上一点，所以ABAD.(4分)又ABBCB，AB，BC平面ABC，所以AD平面ABC.(6分)(2) 解：在平面ABD上，过点O作OyBD，在平面BCD上，过点O作OzBC，由(1)知，BC平面ABD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为BD2BC2，2，则A(，0)，B(1，0，0)，C(1，0，1)，D(1，0，0)，所以(2，0，1)，(，0).设平面ACD的法向量为m(x，
12、y，z)，则取x1，则y，z2，所以m(1，2).(9分)因为y轴平面BCD，所以平面BCD的一个法向量n(0，1，0).(10分)设二面角ACDB的平面角为，为锐角，则cos |cos m，n|，所以二面角ACDB的余弦值为.(12分)21. 解：(1) 依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，不妨设ABCD，A，D在第一象限，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)，C(x2，y2).联立消去x，得y2(m5)y0(*).方程(*)有互异两正根，所以解得0m0，x(0，)，得x；令f(x)0，x(0，)，得0x或x，所以f(x)在(，)上单调递增，在
13、(0，)和(，)上单调递减(4分)(2) (i) 当0a2时，f(x)2sin2xx，设h(x)2sin2xx.当0x时，由(1)知h(x)极大h()0，又h(0)0，所以h(x)0，从而f(x)0.当x时，f(x)h(x)20时，f(x)0(a)；(6分)当x0(b).由(a)(b)得，x0时，xf(x)0.(8分)(ii) 当2a0时，方法一：当x0时，f(x)2sin2xx，设g(x)2sin2xx，g(x)2(sin2x).当x0，又g()g()0，g(0)0，所以g(x)0，从而f(x)0.(10分)当x时，f(x)20.由得，当x0(c)；当x0时，显然f(x)0(d).由(c)(d)得，x0时，xf(x)0.由(i)(ii)结论获证(12分)方法二：则0a2，则g(x)asin2xx，满足x0时，xg(x)0.又yxf(x)与yxg(x)的图象关于y轴对称，所以x0时，xf(x)0.由(i)(ii)结论获证(12分)