1、河北省保定市2022届高三数学下学期一模考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数，复数是复数的共轭复数，则（ ）A. 1B. C. 2D. 3. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4. 已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量（件）与商品售价（元）的关系为，则当此商品的利润最大时，该商品的售价（元）为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知三棱锥，其中平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 6.
2、已知函数的图象如图所示，则下面描述不正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，在右支上存在点，使得为正方形（为坐标原点），设该双曲线离心率为，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数（）图象上存在点M，函数（e为自然对数的底数）图象上存在点N，且M，N关于点对称，则实数a的取值范围是（ ）A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知向量，将向量绕原点逆时针旋转90得到向量，将向量绕原点顺时针旋转135得到向量，则（ ）A. B. C. D.
3、 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）A. 存在点，使得B. 满足为等腰三角形点有2个C. 若，则D. 的取值范围为11. 已知数列的前项和为，且满足，则下面说法正确的是（ ）A. 数列为等比数列B. 数列为等差数列C. D. 12. 下面描述正确的是（ ）A. 已知，且，则B. 函数，若，且，则的最小值是C. 已知，则的最小值为D. 已知，则的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分13. 若函数在处的切线过点，则实数_14. 2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不
4、同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有_种15. 已知定义在上的函数在处取得最小值，则最小值为_，此时_16. 在如图直四棱柱中，底面为菱形，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和18. 如图，在等腰梯形中，现将沿折起至，使得（1）证明：；（2）求二面角的余弦值19. 已知在中，角平分线与相交于点（1）若，求的长；（2
5、）若，求面积最小值20. 2021年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2021年1月份到7月份，销量（单位：百件）与月份之间的关系月份1234567销量611213466101196（1）画出散点图，并根据散点图判断与（，均为大于零的常数）哪一个适合作为销量与月份的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求关于的回归方程，并预测2021年8月份的销量；（3）考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2021年1月份到12月份（取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为元，求2021年几月份该产品的利润最
6、大参考数据：62.141.54253550.123.47其中，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21. 直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上（1）求证：直线恒过定点，并求出点坐标；（2）以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围22. 已知，（1）存在满足：，求的值；（2）当时，讨论的零点个数数学参考答案题号123456789101112答案DCBACDBCBCDACDABDAC1.D解析：根据题意得集合A，所以集合A，RB，所以ARB，故选D.命题意图 考查指数的值域，集合的补集与集合的运算2C解析：根据题意得z2
7、222，故选C.命题意图 考查复数的运算，复数的模的灵活应用3B解析：根据题意得2a3，blog37ln e33，所以ba0，b0，ab1，1ab2，ab，当且仅当ab时取等号，log2alog2blog2ablog22，A正确；对于选项B：因为ab1，所以a2ba，又0a3，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知3xy1，则332，所以3xy22，故C正确；对于选项D，x2y2xyxy2023xy2，令xyt0，所以t2t，所以3xy2xy，此时无解，所以选项D不正确，故选AC.命题意图 考查不等式中的各种问题，灵活运用不等式的知识求解问题136解析：根据题意得f(x)，f(1)2，又fm2
8、，2，m6.命题意图 考查对数函数的切线问题1422 050解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法一共有A22 050种命题意图 考查实际问题中分组分配问题15 解析：根据题意：函数fsinsin 2xfsincos，令tsin，所以y2t2t1，当t时取得最小值，此时sincos，故cos coscoscossinsin.命题意图 考查利用三角函数恒等变形与图象问题求解最值16.解析：连接AD1，AB1，取线段A1D1，A1B1中点Q，P，连接MQ，MP.由于AB1DC1，AB1MP，所以MPDC1.又由于AD1BC1
9、，AD1MQ，所以MQBC1.故平面MPQ平面BDC1，故点N在线段PQ上因为AA1CC1，所以A1MN，故tan A1N.在A1PQ中，当A1NPQ时，A1N取得最小值，故tan 的最小值为.命题意图 考查立体几何中的线线角的最值问题17解：(1)因为Sn，当n1时，a13，(2分)当n2时，Sn1，可得：anSnSn13n，(4分)当n1时，a13满足上式，所以an3n.(5分)(2)由(1)得bn4，(7分)所以Tnb1b2b3bn44.(10分)命题意图 考查数列中的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和18解：(1)在等腰梯形ABCD中，过A作AEBC于E，过D作DFBC于F，在CFD
10、中，CD1，CF，BC2，BD，BD2CD2BC2，BDCD，(2分)同理ABAC，(3分)又因为APAB1，PB，AP2AB2PB2，ABAP，(4分)又ACAPA，AC，AP平面ACP，所以AB平面ACP，所以ABPC.(5分)(2)取AC的中点为M，BC的中点为N，以MN所在直线为x轴，以MC所在直线为y轴，以MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，P，(7分)平面APC的一个法向量为m，(8分)设平面PBC的一个法向量为n，n，(10分)所以cosm，n，(11分)因为二面角APCB为锐角，所以二面角APCB的余弦值为.(12分)命题意图 考查平面图形中利用翻折得到的立体图
11、形，证明垂直问题与求解二面角的问题19解：(1)因为AC2AB2，A120，利用余弦定理可得：BC2AC2AB22ABACcosA7，BC，(2分)在ABD中，在ACD中，(4分)两式相除可得，所以CD.(5分)(2)根据题意得ABC的面积等于ABD的面积与ACD的面积之和，(6分) 又ABc，ACb，所以bcb1c1，bcbc，(7分)bcbc2，当且仅当bc2时取等号，(9分)2，bc4，(10分)所以SABCbc4，即ABC面积的最小值为.(12分)命题意图 考查解三角形中正、余弦定理，角平分线问题的解决20解：(1)散点图如下图，(2分)根据散点图判断，ycdx适合作为销量y与月份x的
12、回归方程类型(3分)(2)对ycdx两边同时取常用对数得：lg ylg cxlg d，设lg yv，则vlg cxlg d，因为4，1.54，140，所以lg 0.25, (5分)把样本中心点代入vlg cxlg d，得：lg c0.54，所以0.540.25x，即lg 0.540.25x，所以y关于x的回归方程为100.540.25x100.54100.25x3.47100.25x, (7分)把x8代入上式，得3.47102347，(8分)所以预测2021年8月份的销量为347百件(34 700件)(9分)(3)由题意得QyP3.47100.05x20.85x，(10分)构造函数f0.05x
13、20.85x，所以当x8或9时，f取最大值，(11分)即2021年8月份或9月份利润最大(12分)命题意图 考查实际问题中线性回归问题，作出散点图，求出回归直线，利用函数思想求最值21. 解： (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，3)，则kAC，kBC，(1分)直线AC的方程为：yy1(xx1)yy1，同理直线BC的方程为：yy2，(2分)把C(m，3)代入直线AC，BC方程得(3分)A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足直线方程3y，即y3，(4分)这就是直线AB的方程，故直线l恒过定点T(0，3)(5分)(2)如图，设圆T的半径为r，M(x1，y1)，N(x2，y2
14、)，Q(x1，y1)，P(x2，y2)，把x24y代入圆T方程x2(y3)2r2整理得y22y9r20，由题意知：此关于y的一元二次方程有两个不等实根，所以2r3.(6分)SPQMN2()224，(8分)令t，则由2r3得0t1，SPQMN4(9分)令f(t)(1t2)，则f(t)(3t1)(t1)，因为0t0，(x)为增函数，(2分)由(1)0得(x)0有唯一解，即x01，所以a0，(3分)x1时，解得：a4.(4分)综上，a0或4.(5分)(2)aa0，h(x)x2xln(xa)x2xln x(x)，(x)2x1，(x)20，(x)为增函数，而(1)0，当x时，(x)0，(x)(1)0，h
15、(x)0，故a0时，零点个数为0.(6分)a0时，h(x)x2xln x，由知仅当x1时，h(x)0，故零点个数为1.(7分)0a)，h(x)2x1，h(x)20，h(x)为增函数，ha10，h(x)0仅有一解，设为x0.(a，x0)上，h(x)0，h(x)最小值为h(x0)，故h(x0)h(1)0，h(2)2ln(2a)0，故，(x0，2)上，h(x)各有一零点(8分)1ax3ln(x4)p(x)，p(x)10x3p(x)p(3)0，h(x)无零点；上，h(x)x2xln(xa)，h(x)2x1，h(x)20，h(x)为增函数，h(1)30，h(x)0有唯一解，设为x，则h(x)h(1)0，h(2)2ln(2a)0，故(1，x)，(x，2)上，h(x)各有一个零点，即h(x)有两个零点(10分)a4时，由(1)知：上，h(x)有唯一零点：x3；(1，)上，由以上讨论知：h(x)有两个零点，故h(x)有3个零点(11分)综上可知：a0时，h(x)零点个数为0；a0时，h(x)零点个数为1；0a4时，h(x)零点个数为2；a4时，h(x)零点个数为3.(12分)命题意图 考查函数与导数的实际应用，利用分类思想求解零点问题