1、章末综合检测（二） 直线和圆的方程(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线l过点M(1，2)，倾斜角为30，则直线l的方程为( )Axy210Bxy210Cxy210 Dxy210解析：选C因为直线l的倾斜角为30，所以直线l的斜率ktan 30，由点斜式方程，得直线l的方程为y2(x1)，即xy210.2直线3x(k2)yk50与直线kx(2k3)y20相交，则实数k的值为( )Ak1或k9 Bk1或k9Ck1且k9 Dk1且k9解析：选D不平行就相交，k1且k9.3已知圆C与直线xy0
2、和xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为( )A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选B由圆心在xy0上，可排除C、D.再结合图象，或者验证选项A、B中，圆心到两直线的距离是否等于半径即可4已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是( )A1或3 B3或5C5或7 D3或7解析：选B当k4时，两直线显然不平行；当k4时，由两直线平行，斜率相等，得，解得k3或5.5已知圆心为(2,0)的圆C与直线yx相切，则切点到原点的距离为( )A1 B.C2 D.解析：选B如图，设圆心为C
3、，切点为A，则圆的半径r，|OC|2，切点到原点的距离为.故选B.6(2020石家庄月考)若直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，则直线的斜率为( )A BC D解析：选D因为直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，所以圆心(2,3)到直线的距离d1，所以1，解得k，故选D.7过点(0,1)的直线与圆x2y24相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A2 B2C3 D2解析：选B当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d|OG|1，此时弦长最短，即|AB|2，故选B.8(2020日
4、照月考)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知ABC的顶点A(1,0)，B(0,2)，且ACBC，则ABC的欧拉线的方程为( )A4x2y30 B2x4y30Cx2y30 D2xy30解析：选B因为ACBC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1,0)，B(0,2)，故AB的中点为，kAB2，故AB的中垂线方程为y1，即2x4y30.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列叙述
5、正确的是()A若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B每一条直线都对应唯一一个倾斜角C与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90D若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan 解析：选ABCA若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；B每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确；C与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90，正确；D当时，则直线的斜率不存在，因此不正确10若实数x，y满足x2y22x0，则下列关于的判断正确的是()A的最大值为 B的最小值为C的最大值为 D的最小值为解析：选CD由x2y22x0得(x1)2y21，表示以(1,0)为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点(x，y)与点(1,0)连线的斜率，
6、易知，的最大值为，最小值为.11已知直线l1：xy10，动直线l2：(k1)xkyk0(kR)，则下列结论正确的是()A存在k，使得l2的倾斜角为90B对任意的k，l1与l2都有公共点C对任意的k，l1与l2都不重合D对任意的k，l1与l2都不垂直解析：选ABD对于动直线l2：(k1)xkyk0(kR)，当k0时，斜率不存在，倾斜角为90，故A正确；由方程组可得(2k1)x0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；当k时，成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：xy10的斜率为1，动直线l2的斜率为11，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确12已知圆C：(x3
7、)2(y3)272，若直线l：xym0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是()Axy20 Bxy40Cxy80 Dxy100解析：选AD根据题意，圆C：(x3)2(y3)272，其圆心C(3,3)，半径r6.若直线l：xym0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d2，变形可得|6m|4，解得m2或10，即l的方程为xy20或xy100.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_解析：由题意可设圆心C
8、(a，a)，如图，得22a22a2，解得a2，r28.所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.答案：(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)2814直线l：xy230(R)恒过定点_，P(1,1)到该直线的距离的最大值为_解析：直线l：xy230(R)即(y3)x20，令解得x2，y3.所以直线l恒过定点Q(2,3)，P(1,1)到该直线的距离最大值为|PQ|.答案：(2, 3)15在平面直角坐标系中，若圆Q：x2y24ax2ay5a210上所有的点都在第二象限内，则实数a的取值范围是_解析：依题意，圆Q的方程可化为(x2a)2(ya)21，圆心为Q(2a，a)，半径
9、为r1.若圆Q上所有的点都在第二象限内，则解得a1.答案：(，1)16设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：如图所示，过点O作OPMN交MN于点P.在RtOMP中，|OP|OM|sin 45，又|OP|1，|OM|，即|OM|，解得1x01.答案：1,1四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)直线l1过点P(1,2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30得直线l2，求直线l1和l2的方程解：由题意知，直线l1的方程是y2(x1)，即xy210.因为直线l1的斜率k1tan 1，所
10、以l1的倾斜角1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角215030120，所以直线l2的斜率k2tan 120，所以l2的方程为y2(x1)，即xy20.18(12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为
11、(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.19(12分)已知圆C：x2y224x28y360内有一点Q(4,2)，过Q作AQBQ，交圆C于点A，B，求动弦AB的中点的轨迹方程解：圆的方程可化为(x12)2(y14)2376，如图所示，设AB的中点P(m，n)，则CPAB，所以|AP|2|AC|2|CP|2.在RtABQ中，|PQ|AB|AP|，所以|PQ|2|AC|2|CP|2，即(m4)2(n2)2376(m12)2(n14)2，整理得m2n216m16n80.故动弦AB的中点的轨迹方程为m2n216m16n80.20(12分)已知ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的
12、直线方程为2x2y10，AC边上的高BH所在直线的方程为y0.(1)求ABC的顶点B，C的坐标；(2)若圆M经过A，B且与直线xy30相切于点P(3,0)，求圆M的方程解：(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y0，所以AC：x0，又CD：2x2y10，所以C.设B(b,0)，则AB的中点D的坐标为，代入方程2x2y10，解得b2，所以B的坐标为(2,0)(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x2y30，由与xy30相切，切点为(3,0)可得，圆心所在的直线方程为xy30，联立可得，M，半径|MA|，所以圆M的方程为x2y2x5y60.21(12分) 已知圆C的方
13、程为x2(y4)21，直线l的方程为2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|2，设P(a,2a)，则 2，解得a2或a，所以点P的坐标为(2,4)或.(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(xb)(y4)(y2b)0，整理得x2y2bx4y2by8b0，即(x2y24y)b(x2y8)0.由解得或所以该圆必经过定点(0,4)和.22(12分)已知
14、直线l：ykxb(0b1)和圆O：x2y21相交于A，B两点(1)当k0时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标(2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足ONAONB？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由解：(1)联立直线l：yb与圆O：x2y21的方程，得A，B两点坐标分别为A(，b)，B(，b)设过圆O上点A的切线l1的方程为ybk1(x)，由于kAOk11，即k11，也就是k1.所以l1的方程是yb(x)化简得l1的方程为xby1.同理得，过圆O上点B的切线l2的方程为xby1.联立l1与l2的方程得交点的坐标为.因此，当k0时，两切线的交点坐标为.(2)假设在y轴上存在一点N(0，t)，满足ONAONB，则直线NA，NB的斜率kNA，kNB互为相反数，即kNAkNB0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20，则0，即x2(kx1bt)x1(kx2bt)0.化简得2kx1x2(bt)(x1x2)0.联立直线l：ykxb与圆O：x2y21的方程，得(k21)x22kbxb210.所以x1x2，x1x2.将代入整理得2k2kbt0.因为式对于任意的实数k都成立，因此t.故在y轴上存在一点N，满足ONAONB.
