1、【2017年高三数学优质试卷分项精品】 专题九 立体几何一、选择题1.【2016全国大联考2（课标I卷）】我国数学史上有一部堪与欧几里得几何原本媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的九章算术，其中卷第五商功有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算小城堡的体积为（ ）A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺【答案】C【解析】设圆柱体的底面半径为，则由题意，得，得，所以小城堡的体积（立方尺），故选C2.2016年全国大联考3(课标卷)】如图所示，网格
2、纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由三视图知该几何体的直观图为图中所示的三棱锥，故选C3.2016全国大联考4(山东卷)】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球的体积是（ ）A B C D【答案】C.4.【2016全国大联考2(山东卷)】如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面为圆柱的轴截面，顶点在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且在上的射影为底面的圆心.由三
3、视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径，高，故其体积；四棱锥的底面为边长为2的正方形，底面，且.故其体积.故该几何体的体积.5.【2016押题卷1（课标1卷）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【答案】D6.【2016全国大联考3（课标I卷）】已知，如图，若三棱锥的最长的棱，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，由于，则三棱锥的外接球的直径为，因此外接球的体积是.7.【2016全国大联考4（课标卷）】在三棱锥中，ABC与BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC平面BCD，则该三棱锥的外接球的体积为 （ ）A. B. C. D.【答
4、案】D 8.【2016押题卷1（课标1卷）】四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则（）A3BCD【答案】B【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为，所以由球的体积可得，解得，故选B9.【2016全国大联考1（课标I卷）】直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若是中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可设底面三角形的边长为，过点作平面的垂线，垂足为，则点为底面 的中心，故即为与平面所成的角，由于，而，又因为三棱柱的体积为，由棱柱体积公式得 ，解
5、得，所以，得，故与平面所成的角大小是，故正确答案为C.10.【2016押题卷1（课标2卷）】在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，则正方体棱长为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】设正方体棱长为，因为是等腰直角三角形，且，设是中点，连接，则面，所以球心必在上，可求得外接球半径为3，可得，解得，故正方体棱长为11.【2016押题卷3（课标1卷）】已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，易知点为截面圆的圆心，取截面圆上一点，连接，.设球的半径为，则由，得，所以.因为截面面积为，所以.在中，
6、所以，所以.所以.二、填空题12.【2016全国大联考3（课标卷）】在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_【答案】【解析】如图所示，设顶点V在底面ABCD的射影为点O，并设正四棱锥的高VO的长为，底面正方形的边长为，过点O作平行于AB的直线交BC于点F，作OMVF于点M，则OM=2，.在中，有，得.所以正四棱锥的体积为（），.令，得，当时，；当时，故当时，正四棱锥的体积最小三、解答题13.【2016押题卷2（课标I卷）】在三棱锥中，=2，为正三角形，点是 棱的中点，且平面平面（）求证：平面；（）求二面
7、角的平面角的余弦值.【解析】（）因为,是的中点，所以AFPD，又因为平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以平面. 6分设平面的法向量为，则，取=1，则，则=（1,1,）， 10分所以=，所以二面角的平面角的余弦值为. .12分14.【2016押题卷2（课标卷）】在四棱柱中，底面是菱形，且，. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的大小. （2）由及知，又由 得，故，于是， 从而，结合，得底面， 如图，建立空间直角坐标系，则, 设平面的一个法向量为， 由得，令，得， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，则，故.（12分） 15.【2016押题卷2（山东卷）】棱锥的
8、三视图如图所示，（I）求证：平面平面（II）在线段上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由.【解析】（）由三视图可知在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2，ABCD为正方形，因此BDAC. 2分PA平面ABCD，平面ABCD，BDPA .又PAAC=A,BD平面PAC.平面PBD, 平面平面 6分16.【2016押题卷1（山东卷）】在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，点在棱上.（1）求证：；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；（3）若，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：因为平面，所以，又AB,所以平面，又平
9、面，故.3分（2）因为，所以，又由（1）得，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，.4分所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.8分（3）因为平面，所以平面的一个法向量.由知为的三等分点且此时.在平面中，.所以平面的一个法向量.10分所以，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.12分17.【2016全国大联考1（课标卷）】已知四棱锥中，平面，底面是菱形，对角线与交于点，为中点 （）求证：；（）若二面角的正切值为，求的值【解析】（） 因为平面，所以 又为菱形，所以,又因为，所以平面，又因为，所以5分（）如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标
10、系，设，则，,从而，因为平面,所以平面的一个法向量为 设平面的法向量为,由得取，即 10分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得，解得，故12分18.【2016全国大联考1（山东卷）】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF且BECF，BCF=，AD=，EF=2.（1）求证： AE平面DCF；（2）若，且，当取何值时，直线AE与BF所成角的大小为？【解析】（1）过E作EGBC交FC于G，连结DG ， 因为BECF ， 所以四边形BCGE是平行四边形 ， 因此EGBCAD， -2分且EG=BC=AD， 所以四边形ADGE也是平行四边形 ， 于是AEDG .又AE平面DCF，D
11、G平面DCF ， 故AE平面 DCF -5分（2）过E作GECF交CF于G，由已知 EGBCAD，且EG=BC=AD，所以EG=AD，又EF=2， 所以GF=1 因为四边形ABCD是矩形， 所以DCBC 因为BCF=，所以FCBC，又平面AC平面BF，平面AC平面BF=BC，于是FC平面AC ， 所以FCCD .分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系 -7分由，得AB=.所以 A（，0），E(，0，)，F(0，0，)，所以=(0， ，)，. -9分依题意有，即，解得. -11分故当时，直线AE与BF所成角的大小为. -12分19.【2016全国大联考2（课标I卷）】如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，求平面与平面所成锐角的余弦值【解析】（1），又由条件知平面，平面，2分又，平面，由，知四边形为正方形，4分又，则平面又平面，平面平面6分20.【2016全国大联考2（山东卷）】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面，.（）证明：平面平面；（）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值. （）设与 的交点为，取的中点，连结.在中，平面，平面. 6分如图，以、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，. 7分设平面的一个法向量为，而，由，得 ， . 设所求二面角为，由题意可得，所以. 12分
