1、2.3平均值不等式(选学)课时过关能力提升1.若2ab0,则a+4(2a-b)b的最小值是()A.3B.1C.8D.12解析:a+4(2a-b)b=a-b2+b2+1a-b2b233a-b2b21a-b2b2=3.当且仅当a-b2=b2=1a-b2b2,即a=b=2时等号成立.答案:A2.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=a+b2,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.解析:a+(b*c)=a+b+c2=2a+b+c2,且(a+b)*(a+c)=(a+b)+(a+c)2=2a+b+c2,由可知a+(b*c)=(a+b)*(
2、a+c).答案:a+(b*c)=(a+b)*(a+c)3.已知p,q(0,+),p3+q3=2,则p+q的最大值为.解析:p+q=p11+q11p3+13+133+q3+13+133=p3+q3+43=2.当且仅当p=q=1时等号成立.答案:24.设a,b,c(0,+),求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.证明ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)33a3b3c3+33a3b3c3=6abc.故原不等式成立.5.求函数y=4sin2xcos x的最值.解:y2=16sin2xsin2xcos2x=8(si
3、n2xsin2x2cos2x)8sin2x+sin2x+2cos2x33=8827=6427,y26427,当且仅当sin2x=2cos2x,即tan x=2时,等号成立.ymax=839,ymin=-839.6.设a,b,c为正实数,求证:1a3+1b3+1c3+abc23.证明a,b,c(0,+), 1a3+1b3+1c3331a31b31c3,即1a3+1b3+1c33abc(当且仅当a=b=c时等号成立). 1a3+1b3+1c3+abc3abc+abc.又3abc+abc23abcabc=23(当且仅当a2b2c2=3时等号成立),1a3+1b3+1c3+abc23(当且仅当a=b=
4、c=63时等号成立).7.设x为锐角,求y=1cos2x+4sin2x的最小值.解:y=1cos2x+4sin2x=sin2x+cos2xcos2x+4(sin2x+cos2x)sin2x=sin2xcos2x+4cos2xsin2x+52sin2xcos2x4cos2xsin2x+5=9.当且仅当sin2xcos2x=4cos2xsin2x,即tan x=2时,y取最小值9.8.设a1,a2,an为正数,证明:a1+a2+annn1a1+1a2+1an.证明因为a1,a2,an为正数,所以要证a1+a2+annn1a1+1a2+1an成立,就是要证明(a1+a2+an)1a1+1a2+1ann2.由平均值不等式,得a1+a2+annna1a2an,1a1+1a2+1annn1a1a2an.两式相乘,得(a1+a2+an)1a1+1a2+1ann2,所以原不等式成立.
