1、三 简单曲线的极坐标方程【自主预习】1.极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中,方程f(,)=0叫做平面曲线C的极坐 标方程,满足条件:(1)平面曲线C上任意一点的极坐标中_满足 方程f(,)=0.至少有一个(2)坐标适合方程_的点都在曲线C上.f(,)=0 2.圆的极坐标方程 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0)=_(0 2)圆心在点(r，0)=_ 圆心在点(r，)=_(0 )2r()22 2rcos 2rsin 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在点(r，)=_ 圆心在点 =_(-0)3(r)2，-2rcos 3()22 -2rsin 3.直线的极坐标方程(R)直线位置 极坐标方
2、程 图 形 过极点,倾斜角为 (1)=_(R)或 =_(R)(2)=(0)和 =+(0)+直线位置 极坐标方程 图 形 过点(a,0),且与极轴垂直 _=a 过点 且 与极轴平行 _=a(0 0),则圆C的极坐标方程是()A.=-2asin B.=2asin C.=-2acos D.=2acos (a)2，【解析】选B.由于圆心的极坐标是 ,化为直角坐标 为(0,a),半径为a,故圆的直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2,再化为极坐标方程为=2asin.(a)2，2.(2016西安高二检测)将极坐标方程=2cos 化成直角坐标方程为_.【解析】由=2cos得2=2cos,所以x2+y2-2x
3、=0.答案:x2+y2-2x=0 类型二 直线的极坐标方程【典例】在极坐标系中,求过点(2,)且与极轴的倾斜 角为 的直线的极坐标方程.4【解题探究】求直线极坐标方程的一般方法是什么?提示:设出直线上任意一点的极坐标(,),列出,的关系式即可.【解析】令A(2,),设直线上任意一点P(,),在OAP中,APO=-,由正弦定理 得 又因为点A(2,)适合上式,故所求直线的极坐标方程为 42,sin()sin44sin()2.4sin()2.4【方法技巧】关于直线的极坐标方程(1)求直线的极坐标方程的一般方法.设出直线上的任意一点(,),利用三角形中的定理,如正弦定理、余弦定理等列出,的关系式,即
4、为直线的极坐标方程.(2)求直线的极坐标方程的注意事项.当 0时,直线上的点的极角不是常量,所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程,所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程唯一且简便.当规定了“负极径”的意义,即 R时,直线的极坐标方程就是唯一的了.【变式训练】1.(2016铜陵高二检测)已知点P的极坐标为(1,),求过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程.【解析】点P(1,)的直角坐标为(-1,0),所求直线的直角坐标方程为x=-1,化为极坐标方程为 cos=-1.2.在极坐标系中,求过点 且与极轴平行的直线方程.【解析】点 在直角坐标系下的坐标为 即(0,2),所以过点(0,2
5、)且与x轴平行的直线方程为y=2.即为sin=2.(2)2，(2)2，(2cos2sin)22，类型三 直线与圆的极坐标方程综合题【典例】(2016衡阳高二检测)在极坐标系中,曲线 C:=2acos(a0),l:,C与l有且仅有一 个公共点.(1)求a的值.3cos()32(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.3【解题探究】(1)如何判断曲线的形状?提示:将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程判断曲线的形状.(2)如何求|OA|+|OB|的最大值?提示:利用点的极坐标以及三角函数性质求最大值.【解析】(1)由曲线C:=2acos(a0)得 2=2acos
6、,化为直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,直线l:得 由于直线与圆有且只有一个公共点,所以d=a,解得a=1,a=-3(舍去).33cos()cos cossin sin32332即，133xy0 x3y 30222，即，a32(2)不妨设A的极角为,B的极角为+,当=-时,|OA|+|OB|取得最大值2 .363OAOB2cos2cos()33cos3sin2 3cos()6 则，【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程的关键 因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合,所以将极坐标方程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的公式y=sin,x=cos.【变式训练】1.(2016
7、衡水高二检测)在极坐标系中,点 到圆=-2cos 的圆心的距离为()(2)3，22A.2 B.4 C.9 D.799【解析】选D.点 的直角坐标为(1,-),圆=-2cos 即 2=-2 cos 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,所以点(1,-)到圆心(-1,0)的距离为 .(2)3，3372.(2016北京高考)在极坐标系中,直线 cos-sin-1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|=_.3【解析】直线 cos-sin-1=0可化为x-y-1=0.圆=2cos 可化为 2(cos2+sin2)=2 cos,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圆心(1,0),半径长为1.圆 心在直线AB上,所以|AB|=2.答案:2 33自我纠错 极坐标方程化为直角坐标方程【典例】(2016漳州高二检测)化极坐标方程 2cos-=0为直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1 B.x=1 C.x2+y2=0或x=1 D.y=1【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了0,遗漏了=0的情形.正确解答过程如下:【解析】选C.由2cos-=0,得(cos-1)=0,所以=0或cos-1=0,即x2+y2=0或x=1.
