1、立体几何第八章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系高考概览1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1平面的基本性质 温馨提示(1)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面(2)三个公理的作用公理 1：证明“点在面内”或“线在面内”；公理 2：判断两个平面是否重合；确定一个平面；证明点、线共面；公理 3：证明三点共线、
2、三线共点；确定两平面的交线如：平面 平面 l，点 M，N，点 P，且 Pl，又 MNlR，过 M，N，P 三点所确定的平面记为，则 是直线.PR提示：由已知得 P，且 P.因为 Rl，所以 R.又 RMN，所以 R.因为 Pl，RMNl，所以 R，P 两点不重合，所以 R，P 所在直线 PR，PR，所以 PR 是平面 与平面 的交线2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线a直线：同一平面内，有且只有公共点；b直线：同一平面内，公共点相交一个平行没有异面直线：不同在一个平面内，公共点(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线互相(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
3、任何没有平行相等或互补(4)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的叫做异面直线 a 与 b 所成的角 范围：.锐角或直角0，2温馨提示 一条结论：判断两条直线是异面直线，除了应用反证法，还可以用：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线一个误区：不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线如：空间两条直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系为提示：两直线没有公共点，则两直线平行或异面平行或异面3空间直线、平面的位置关系 温馨提示 一种能力：文字语言，符号语言，图形的互相
4、翻译，正确表述的能力，注意符号，的使用如：直线 l 与平面 交于 A，B 为 内不同于 A 的一点，用符号可表示为.lA，B，Bl小题速练1下列结论正确的是()A梯形可以确定一个平面B两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于过 A点的任意一条直线C若 a，b 是两条直线，是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线D两条直线 a，b 没有公共点，则 a 与 b 是异面直线解析 梯形中两条平行直线确定一个平面，选 A.答案 A2若直线 ab，bcA，则直线 a 与 c 的位置关系是()A异面B相交C平行D异面或相交解析 因为 ab，bcA，所以由公理 4 知 a 与 c 一定不平行，故选 D.
5、答案 D3已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 平行，则直线 b 与 的关系为()A平行B相交C直线 b 在平面 内D平行或直线 b 在平面 内解析 依题意，直线 a 必与平面 内的某直线 n 平行，nb，因此直线 b 与平面 的位置关系是平行或直线 b 在平面 内，故选 D.答案 D4如果三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有()这三条直线必共点；其中必有两条是异面直线；三条直线不可能共面；其中必有两条在同一平面内A4 个 B3 个 C2 个 D1 个解析 三条直线两两垂直，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体 ABCDA1B1C1
6、D1 中的棱 AA1，AB，BC)，故结论不正确、不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得出其中两条直线平行与题中条件矛盾，故三条直线不可能在同一个平面内，结论正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCDA1B1C1D1 中的棱 AA1，BC，D1C1)，故结论不正确答案 D5已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为_解析 取 A1B1 的中点 F，连接 EF，AF.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，EFB1C1，B1C1B
7、C，EFBC，AEF(或其补角)即为异面直线 AE 与 BC 所成的角设正方体的棱长为 a，则 AFa212a 2 52 a，EFa.EF平面 ABB1A1，EFAF，AEAF2EF232a.cosAEFEFAE a32a23.答案 23考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 平面的基本性质基础点 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD 且 BC12AD，BEAF 且 BE12AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？思路引导(1)利用平行公
8、理证明平行(2)证明两直线相交，从而共面解(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以 GHAD 且 GH12AD，又 BCAD 且 BC12AD，故 GHBC 且 GHBC，所以四边形 BCHG 是平行四边形(2)C，D，F，E 四点共面理由如下：由 BEAF 且 BE12AF，G 是 FA 的中点知，BEGF 且 BEGF，所以四边形 EFGB 是平行四边形，所以 EFBG.由(1)知 BGCH，所以 EFCH，故 EC，FH 共面又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D，F，E 四点共面拓展探究 本例题中的已知条件不变，如何证明“FE，AB，DC 交于一点”？证明 由例题可知，四边形
9、EBGF 和四边形 BCHG 都是平行四边形，故可得四边形 ECHF 为平行四边形，ECHF，且 EC12DF，四边形 ECDF 为梯形FE，DC 交于一点，设 FEDCM.MFE，FE平面 BAFE，M平面 BAFE.同理 M平面 BADC.又平面 BAFE平面 BADCBA，MBA，FE，AB，DC 交于一点(1)点共线问题的证明方法基本性质法证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上(2)点线共面问题的证明方法纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内
10、辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面，重合(3)线共点问题的证明方法证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上跟踪演练 已知：空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点，且 CG13BC，CH13DC.求证：(1)E、F、G、H 四点共面；(2)三直线 FH、EG、AC 共点证明(1)连接 EF、GH，E、F 分别是 AB、AD 的中点，EFBD.又CG13BC，CH13DC，GHBD，EFGHE、F、G、H 四点共面(2)易知 FH 与直线 AC
11、 不平行，但共面，设 FHACM，M平面 EFHG，M平面 ABC.又平面 EFHG平面 ABCEG，MEG，FH、EG、AC 共点考点二 空间两直线的位置关系常考点(1)(2015广东卷)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 内，l2 在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是()Al 与 l1，l2 都不相交Bl 与 l1，l2 都相交Cl 至多与 l1，l2 中的一条相交Dl 至少与 l1，l2 中的一条相交(2)(2017郑州模拟)在图所示中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的
12、序号)思路引导(1)画出图形作出猜想再进行证明(2)通过证明两条直线平行或相交从而判断是否异面解析(1)假设 l 与 l1，l2 都不相交，因为 l 与 l1 都在平面 内，于是 ll1，同理 ll2，于是 l1l2，与已知矛盾，故 l 至少与 l1，l2 中的一条相交(2)图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G，M，N 共面，但H平面 GHN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图中，GH 与MN 异面答案(1)D(2)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行的判
13、定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理跟踪演练1(2018辽宁大连期末)如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段 AB，CD 的位置关系是()A平行B垂直但不相交C异面但不垂直D相交解析 还原为正方体后得点 A 和 C 重合，所以 AB，CD相交答案 D2.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 C1D1，C1C 的中点给出以下四个结论：直线 AM 与直线 C1C 相交；直线 AM 与直线 BN 平行；直线 AM 与直线 DD1 异面；直线 BN 与直线 MB1 异面其中正
14、确结论的序号为_(把你认为正确的结论序号都填上)解析 AM 与 C1C 异面，故错；AM 与 BN 异面，故错；，正确答案 考点三 异面直线所成的角偶考点(2017全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33思路引导(1)平移一条直线，可考虑补形(2)平移两条直线，取中点，构造三角形求解解析 解法一：如图 1 所示，将直三棱柱 ABCA1B1C1 补成直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连接 AD1，B1D1，则 AD1BC1，所以B1AD1 或其补角为异面直线
15、AB1 与 BC1 所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以 AB1 5，AD1 2.在B1D1C1 中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以 B1D11222212cos60 3，所以 cosB1AD1 5232 5 2 105，选择 C.图 1解法二：如图 2，设 M，N，P 分别为 AB，BB1，B1C1 的中点，连接 MN，NP，MP，则 MNAB1，NPBC1，所以PNM 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角易知 MN12AB1 52，NP12BC1 22.取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，可知PQM 为直角三角形，PQ1，MQ12AC.在AB
16、C 中，AC2AB2BC22ABBCcosABC4122112 7，所以 AC 7，MQ 72.在MQP 中，MP MQ2PQ2 112，则在PMN 中，cosPNMMN2NP2PM22MNNP52222211222 52 22 105，所以异面直线 AB1 与 BC1所成角的余弦值为 105.图 2答案 C求异面直线所成的角的方法和步骤(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”
17、，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解跟踪演练空间四边形 ABCD 中，ABCD 且 AB 与 CD 所成的角为 30，E、F 分别为 BC、AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小解 取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG 綊12AB，FG綊12CD，由 ABCD 知 EGFG，GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角，EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角AB 与 CD 所成的角为 30，EGF30或 150.由 EGFG 知EFG 为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF
18、15.故 EF 与 AB 所成的角为 15或 75.名师引领 拓视野 思一思 悟一悟 素养达成构造模型判断空间线面的位置关系素养解读：判断空间线面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其他几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化 已知 m，n 是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m，n，mn，则；若 m，n，mn，则；若 m，n，mn，则；若 m，n，则 mn.其中所有正确的命题是()A B C D切入点 由线面平行、垂直关系可构造一个长方体模型关键点 构造模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判
19、断它们的位置关系规范解答 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由 m，可得 m，因为 n，所以过 n 作平面，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 mg，所以 mn，故正确答案 A(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体
20、来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证感悟体验1已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则()Am 与 n 异面Bm 与 n 相交Cm 与 n 平行Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能解析 在如图所示的长方体中，m，n1 与 l 都异面，但是 mn1，所以 A，B 错误；m，n2 与 l 都异面，且 m，n2 也异面，所以 C 错误答案 D2在空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1 与 l4 既不垂直也不平行Dl1 与 l4 的位置关系不确定解析 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，取 l1 为 BC，l2 为 CC1，l3 为 C1D1.满足 l1l2，l2l3.若取 l4为 A1D1，则有 l1l4；若取 l4 为 DD1，则有 l1l4.因此 l1 与 l4 的位置关系不确定，故选 D.答案 D
